数学
1 ( 20 分 ) 叙述算子序列一致收敛、强收敛、弱收敛的定义, 举例说明强收敛而不一致收敛. 2 ( 20 分 ) 设 $\calX=C[a,b]$, 线性算子 $A$ 定义为 \[ (Ax)(t)=\int_a^tx(\tau)\rd\tau,\quad x\in C[a,b].
1 ( 15 分 ) 叙述二维 Laplace 方程 $u_{xx}+u_{yy}=0$ 的平均值公式 并用此证明 Laplace 方程的的极值原理. 2 ( 15 分 ) 用分离变量法求解下列问题: $$\bex \left\{\ba{lll} \frac{\p^2u}{\p t^2}-a...
(from D.Y. Peng) 设 $f$ 为区间 $I$ 上的可微函数, 满足微分方程 $$\bex f'(x)=g(f(x)),\quad x\in I, \eex$$ 其中 $g$ 是在 $f$ 的值域上有定义的连续函数. 证明: $f$ 一定是单调函数.
$$\bex f\in C_c^\infty(\bbR^2)\ra \sen{f}_{L^4}\leq \sqrt{2} \sen{f}_{L^2}^{1/2} \sen{\p_1f}_{L^2}^{1/4} \sen{\p_2f}_{L^2}^{1/4}, \eex$$ $$\bex f\in C...
1 ( 10 分 ) 设 $\mathcal{X}$ 是 Banach 空间, $f$ 是 $\mathcal{X}$ 上的线性泛函. 求证: $f\in \mathcal{L}(\mathcal{X})$ 的充分必要条件是 \[ N(f)=\{ x\in \mathcal{X};\ f(x)=0 \} \] 是 $\mathcal{X}$ 的闭线性子空间.
$\def\avint{\mathop{\mathchoice{\,\rlap{-}\!\!\int} {\rlap{\raise.15em{\scriptstyle -}}\kern-.
W3School - $e^{i\pi}+1=0$. 查看参考答案
(from yqs210)$$(1+\frac{1}{1*2}) (1+\frac{1}{2*3}) (1+\frac{1}{3*4}).......(1+\frac{1}{n*(n+1)}) =? $$$$(1+\frac{1}{1^2} )(1+\frac{1}{2^2} )(1+\frac{1}{3^2} ).
(from MathFlow) 设 $A=(a_{ij})$, 且定义 $$\bex \n_A f(A)=\sex{\cfrac{\p f}{\p a_{ij}}}. \eex$$ 试证: (1) $\n_A\tr (AB)=B^t$; (2) $\n_A \tr(ABA^tC)=CAB+C^tAB^t$.
// 1. 极限 2. 连续 3. 微分 3.1 Rolle 3.2 Lagrange 3.3 Cauchy 4. 积分 //
一、极限 二、连续 二、微分 1、Rolle 极限 连续 微分 Rolle 用如下的html语言代码实现: 一、极限 二、连续 二、微分 1、Rolle 极限 连续 微分 Rolle
已知 $$\bex u(x,t)=\cfrac{1}{2}\int_0^1\rd \eta \int_{x-t+\eta}^{x+t-\eta}f(\xi,\eta)\rd \xi, \eex$$ 且 $f(\xi,\eta)$, $f_\xi(\xi,\eta)$ 连续.
试证: $\dps{\int_0^{k\pi} \cfrac{|\sin x|}{x}\rd x> \cfrac{2}{\pi}\ln\cfrac{k+1}{2}}$.
(来自质数) 设$ A,B $ 都是实数域上的两个二阶方阵, 且 $AB=BA$. 证明:对于任意实数 $x,y,z$,有 $$ 4xz\det(xA^2+yAB+zB^2)\geq (4xz-y^2)(x\det(A)-z\det(B))^2 $$ 证明: (来自 torsor) 因为 $A,B$ 可交换, 所以在复数域上它们可以同时上角化.
(来自 james2009) 设$A\in {M}_{n}\left( \mathbb{R}\right)$,${A}^{'}A$ 的全部特征值中: 最大值的设为${\lambda }_{max}$, 最小值的设为 ${\lambda }_{min}$.
$\dps{\int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}\rd x=\frac{\pi}{2}}$. 证明: 由分部积分, $$\bee\label{1}\bea \int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}\rd x &=-\int_0^\infty \sin^2x\rd\frac{1}{x}\\ &=-\left.
同济大学数学系主编, 高等数学 . 第二版, 下册. 2009年, 同济大学出版社. 7 空间解析几何与向量代数 7.5 空间直线及其方程 1(3). 求过点 $P(2,-3,3)$ 且与平面 $\pi: x+2y-3z-2=0$ 垂直的直线 $l$ 的方程.
1 毕达哥拉斯定理 方程: $c^2=a^2+b^2$. 说明: 直角三角形斜边长度的平方等于另两边长度的平方和. 发现者: 不详. 发现时间: 不详. 2 牛顿第二定律 方程: ${\bf F}=m{\bf a}$.
1 (10 分) 设 $\mathcal{X}$ 是 Banach 空间, $f$ 是 $\mathcal{X}$ 上的线性泛函. 求证: $f\in \mathcal{L}(\mathcal{X})$ 的充分必要条件是 \[ N(f)=\{ x\in \mathcal{X};\ f(x)=0 \} \] 是 $\mathcal{X}$ 的闭线性子空间.
(来自 succeme) $A$是给定的方阵,特征值已知,其他小写字母为复数,用$A$的特征值表出下列行列式的值: \[ \begin{pmatrix} b_0E & b_1A &b_2A^2 &\cdots &b_{n-1}A^{n-1} \\ ab_{n-1}A^{n-1} &b_0E & b_...
1 (15 分) 设 $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $l$ 为 $\mathcal{H}$ 上的一实值线性有界泛函, $C$ 是 $\mathcal{H}$ 中一闭凸子集, \[ f(v)=\frac{1}{2}||v||^2-l(v)\quad(\forall\ v\in C).
(来自质数) 设 $ \mathbf V=\Bbb F_{n\times n}$ 是域 $\Bbb F$ 上所有 $n$ 阶矩阵组成的向量空间 (这里$\Bbb F=\Bbb R$ 或者 $ \Bbb C$).
数列$\begin{Bmatrix} {x}_{n} \end{Bmatrix}$满足如下定义: $$a>0,\quad b>0; \qquad {x}_{1}=a,\quad{x}_{2}=b ;\qquad {x}_{n+2}=2+\cfrac{1}{{x}_{n+1}^{2}}+\cfrac{1}{{x}_{n}^{2}},\qquad n\geq 1.
打算在 INTERNATIONAL JOURNAL OF CONTEMPORARY MATHEMATICAL SCIENCES 发一篇文章, 所以就直接在 作者指引 中下载 tex 模版, 写好后发邮件到 ijcms@m-hikari.
安徽师范大学 http://yz.ahnu.edu.cn/4475/view/211004?refresh 北京化工大学 http://graduate.buct.edu.cn/html/153/3241.
设 $f(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的增函数. 再设 $x_0\in [a,b)$, 而点列 $\sed{x_n}$ 满足: $x_n>x_0$, $\dps{\vlm{n}x_n=x_0}$.
已知函数 $f(x)=\ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>e^2$. 证明: 由 $$\bex \ln x=ax,\quad g(x)\equiv \cfrac{\ln x}{x}=a \eex$$ 有两根及 ...
$$\beex \bea \int \lap f|f|^{q-2}f\rd x &=-\int \n f\cdot \sez{(q-2)|f|^{q-3}\cfrac{f}{|f|}\n f\cdot f +|f|^{q-2}\n f}\rd x\\ &=-\int (q-2)|f|^{q-4}|f...
1 (每小题6分,共48分) (1) 求$\lim\limits_{x \to 0+}x^x;$ 解答: $$\begin{eqnarray*}\textrm{ 原式} & = & \lim\limits_{x \to 0+}e^{x\ln x} = \lim\limits_{x \to ...
1. 方程 考虑 $\bbR^3$ 中有界区域 $\Omega$ 上如下的稳态流动: $$\bee\label{eq} \left\{\ba{ll} \Div(\varrho\bbu)=0,\\ \Div(\varrho\bbu\otimes \bbu) -\mu\lap \bbu -(\lam...
1 ($10$分) 设 $(\calX,d)$ 是完备的度量空间, $A$ 是 $\calX$ 到 $\calX$ 中的映射, 记 $$\bex a_n=\sup_{x\neq x'}\frac{d(A^nx,A^nx')}{d(x,x')}.
当密度 $\varrho$ 的正则性没有$L^2$ 时, 我们用如下的震荡估计: $$\bee\label{eq} \sup_{k>1}\limsup_{\delta\to 0^+} \sen{T_k(\varrho_\delta)-T_k(\varrho)}_{\gamma+1} \leq L(\...
设 ${\bf A}$ 为 $n$ 阶正定矩阵, ${\bf x}$, ${\bf y}$ 为 $n$ 维列向量且满足 ${\bf x}^t{\bf y}>0$. 证明矩阵 $$\bex {\bf M}={\bf A}+\cfrac{{\bf x}{\bf x}^t}{{\bf x}^t{\bf y...
Navier-Stokes equations 1 Let $\omega$ be a domain in $\bbR^3$, complement of a compact set $\mathcal{B}$.
2. $\dps{\int_{-\infty}^{+\infty}\cfrac{P(x)}{Q(x)}\rd x}$ 型 ($\deg P=m,\deg Q=n, n-m\geq 2; Q\neq 0$) (1) 数分: 分拆 (2) 复变: 构造围道积分, 而 $$\bex =2\pi i\s...
试求曲线 $6xy=3+x^4$ 在 $x=1$, $x=2$ 之间的弧段的长度. 参考解答: $\cfrac{17}{12}$.
1. 对数留数 $$\beex \bea \cfrac{1}{2\pi i}\int_C\cfrac{f'(z)}{f(z)}\rd z &=\cfrac{1}{2\pi i}\int_C \rd \ln f(z)\\ &=\cfrac{1}{2\pi i}\int_C\rd \ln |f(z)|...
设 $A(t)=(a_{ij}(t))$ 中每个 $a_{ij}(t)$ 都是可导的, 则 $$\bex \cfrac{\rd}{\rd t}|A(t)|=|A|\tr \sez{A^{-1}\cfrac{\rd A}{\rd t}}. \eex$$
设 $A,B$ 都是 $n$ 阶复方阵, 且 $A^2+B^2=2AB$. 证明: (1) $AB-BA$ 不可逆; (2) 如果 $\rank(A-B)=1$, 那么 $AB=BA$.
3. 函数在 $\infty$ 的留数 (1) 定义: 设 $\infty$ 为 $f$ 的孤立奇点, 则称 $$\bex \cfrac{1}{2\pi i}\int_{\vGa^-}f(z)\rd z\quad (\vGa:\ |z|=\rho) \eex$$ 为 $f$ 在 $\infty$ 的留数, 记作 $\dps{\underset{z=\infty}{\Res}f(z)}$.
\begin{align*}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^{2}2^{n+1}}{(2n+1)!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}t^{n}(1-t)^{n}2^{n+1}dt\\&=2\int_{0}^{1}\sum_{0}^{\in...
A fine property of the non-empty countable dense-in-self set in the real line Zujin Zhang School of Mathematics and Computer Science, Gannan Normal University Ganzhou 341000, P.
0. 引言---回忆 (1) Cauchy 积分公式 (第三章) $$\beex \bea f\mbox{ 在 }D\mbox{ 内解析}, \mbox{ 在 }\bar D=D+\p D\mbox{ 上连续}&\ra \int_C \cfrac{f(z)}{z-a}\rd z=2\pi if...
1 ($9'\times 5=45'$) 求解下列 ODE: (1)$\dps{\frac{d y}{d x}=\frac{2x-y+1}{x-2y+1}}$; (2)$\dps{(y^2+2xy)\rd x-x^2\rd y=0}$; (3)$\dps{x^2+\sex{y'}^2=4}$;...
1. 整函数 (entire function) (1) 定义: 若 $f$ 在 $\bbC$ 上解析, 则称 $f$ 为整函数. (2) 性质: $\dps{f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n,\ 0\leq |z|
1. 函数 $f$ 在 $\infty$ 没有定义, 所以 $\infty$ 必为 $f$ 的奇点. 若 $$\bex \exists\ r>0,\ st. f\mbox{ 在 }|z|>r\mbox{ 内解析}, \eex$$ 则称 $\infty$ 为 $f$ 的孤立奇点.
1. 孤立奇点的三种类型 (1) 定义 (2) $$\beex \bea 0
设 $f$ 在 $D=\sed{z\in\bbC;\ |z|\leq 1}$ 上除点 $z_0\in D$ 外处处解析, 且满足 (1) 在 $D$ 内 $f$ 没有零点; (2) $z\in \p D\ra f(z)\in \p D$; (3) $z_0$ 是 $f$ 的一阶极点.
题目. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$上 可导, 导函数 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调下降, 且 $f'(b)>0$. 证明: \[ \sev{\int\limits_a^b\cos f(x)\rd x}\leq \frac{2}{f'(b)}.