(来自 succeme) $A$是给定的方阵，特征值已知，其他小写字母为复数，用$A$的特征值表出下列行列式的值： \[ \begin{pmatrix} b_0E & b_1A &b_2A^2 &\cdots &b_{n-1}A^{n-1} \\ ab_{n-1}A^{n-1} &b_0E & b_1A &\cdots & b_{n-2}A^{n-2} \\ ab_{n-2}A^{n-2} & ab_{n-1}A^{n-1} & b_0E & \cdots & b_{n-3}A^{n-3} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots & \cdots \\ ab_1A & ab_2A^2 & ab_3A^3 &\cdots &b_0E \end{pmatrix} \]
解答: (来自 torsor) 首先，若 $a=0$, 则所求矩阵是分块上三角阵，容易看出其行列式等于 $b_0^{n^2}$. 以下设 $a\neq 0$, 并且 $\omega_1,\cdots,\omega_n$ 是 $x^n-a$ 的 $n$ 个不同的根. 设复系数多项式 $$f(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_{n-1}x^{n-1}.$$ 考虑如下分块矩阵的乘法： $$ \begin{bmatrix} b_0 & b_1A & b_2A^2 & \cdots & b_{n-1}A^{n-1} \\ ab_{n-1}A^{n-1} & b_0 & b_1A & \cdots & b_{n-2}A^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ ab_1A & ab_2A^2 & ab_3A^3 & \cdots & b_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_n & I_n & I_n & \cdots & I_n \\ \omega_1I_n & \omega_2I_n & \omega_3I_n & \cdots & \omega_nI_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \omega_1^{n-1}I_n & \omega_2^{n-1}I_n & \omega_3^{n-1}I_n & \cdots & \omega_n^{n-1}I_n \end{bmatrix} $$ $$=\begin{bmatrix} f(\omega_1A) & f(\omega_2A) & f(\omega_3A) & \cdots & f(\omega_nA) \\ \omega_1f(\omega_1A) & \omega_2f(\omega_2A) & \omega_3f(\omega_3A) & \cdots & \omega_nf(\omega_nA) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \omega_1^{n-1}f(\omega_1A) & \omega_2^{n-1}f(\omega_2A) & \omega_3^{n-1}f(\omega_3A) & \cdots & \omega_n^{n-1}f(\omega_nA) \end{bmatrix} $$ $$=\begin{bmatrix} I_n & I_n & I_n & \cdots & I_n \\ \omega_1I_n & \omega_2I_n & \omega_3I_n & \cdots & \omega_nI_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \omega_1^{n-1}I_n & \omega_2^{n-1}I_n & \omega_3^{n-1}I_n & \cdots & \omega_n^{n-1}I_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(\omega_1A) & & & & \\ & f(\omega_2A) & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & & f(\omega_nA) \end{bmatrix}. $$ 由 Laplace 定理容易得到 $$\begin{vmatrix} I_n & I_n & I_n & \cdots & I_n \\ \omega_1I_n & \omega_2I_n & \omega_3I_n & \cdots & \omega_nI_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \omega_1^{n-1}I_n & \omega_2^{n-1}I_n & \omega_3^{n-1}I_n & \cdots & \omega_n^{n-1}I_n \end{vmatrix}=\prod_{1\leq i<j\leq n}(\omega_j-\omega_i)^n\neq 0, $$ 故 $$ \begin{vmatrix} b_0 & b_1A & b_2A^2 & \cdots & b_{n-1}A^{n-1} \\ ab_{n-1}A^{n-1} & b_0 & b_1A & \cdots & b_{n-2}A^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ ab_1A & ab_2A^2 & ab_3A^3 & \cdots & b_0 \end{vmatrix}=|f(\omega_1A)|\cdot|f(\omega_2A)|\cdots|f(\omega_nA)|, $$ 用 $A$ 的特征值不难将上述行列式的值写出来.
