[复变函数]第18堂课 5. 2 解析函数的孤立奇点

1.  孤立奇点的三种类型

(1)  定义

(2)  

$$\beex \bea 0<|z-a|<R\ra f(z)=&\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n\quad\sex{\mbox{正则部分}}\\ &+\sum_{n=-\infty}^{-1}c_n(z-a)^n\quad\sex{\mbox{主要部分: 奇异性质主要看这里}}. \eea \eeex$$

(3)  分类

a.  若主要部分为零, 则称 $a$ 为 $f$ 的可去奇点 (removable singularity). 例: $\cfrac{\sin z}{z}$.

b.  若主要部分只有有限多项, 设为

$$\bex \cfrac{c_{-1}}{z-a}+\cdots+\cfrac{c_{-m}}{(z-a)^m}\quad(c_{-m}\neq 0), \eex$$ 则称 $a$ 为 $f$ 的 $m$ 阶极点 (pole). [一阶时, 也称单极点]. 例: $\cfrac{z}{(z-1)(z-2)}$.

c.  若主要部分有无穷多项, 则称 $a$ 为 $f$ 的本质 (性) 奇点 (essential singularity). 例: $e^\frac{1}{z}$.

 

2.  可去奇点

$$\bex \ba{ccccc} f\mbox{ 在 }a\mbox{ 的一个去心邻域内有界}&\lra&a\mbox{ 为 }f\mbox{ 的可去奇点}&\lra&f\mbox{ 的主要部分为 }0\\ &&\Updownarrow&&\\ &&\lim_{z\to a}f(z)\mbox{ 存在}&& \ea \eex$$

 

3.  极点

$$\bex \ba{ccccc} &&\lim_{z\to a}f(z)=\infty &&\\ &&\Updownarrow&&\\ g(z)=\cfrac{1}{f(z)}\mbox{ 以 }a \mbox{ 为 }m\mbox{ 阶零点} &\lra& f\mbox{ 以 }a\mbox{ 为 }m\mbox{ 阶极点}&\lra& f\mbox{ 的主要部分为 }0\\ &&\Updownarrow&&\\ &&f(z)=\cfrac{\lm(z)}{(z-a)^m},\atop\dps{\lm(a)\neq 0}&& \ea \eex$$

 

4.  本质奇点

$$\bex a\mbox{ 为 }f\mbox{ 的本质奇点}\lra \lim_{z\to a}f(z)\mbox{ 不存在}. \eex$$

(1)  Weierstrass 定理 [1876]: 设 $a$ 为 $f$ 的本质奇点, 则

$$\bex \forall\ A,\ \exists\ z_n\to a,\st f(z_n)\to A. \eex$$

(2)  Picard 大定理 [1879]: Weierstrass 定理中的 $f(z_n)\to A$ 可换为 $f(z_n)=A$, 除掉某个可能的 $A=A_0$ 外.

 

5.  Schwarz 引理: 设 $f: D=\sed{z;|z|\leq 1}\to D$ 解析, 且 $f(0) =0$, 则

$$\bex |f(z)|\leq |z|,\quad |f'(0) |\leq 1.  \eex$$ 等号成立当且仅当 $\exists\ \tt\in\bbR,\st f(z)=e^{i\tt}z$ (即 $f$ 为一旋转).

 

作业: P 213-214 T 4 (1)  (7)  (8) .