1 ($10$分) 设 $(\calX,d)$ 是完备的度量空间, $A$ 是 $\calX$ 到 $\calX$ 中的映射, 记 $$\bex a_n=\sup_{x\neq x'}\frac{d(A^nx,A^nx')}{d(x,x')}. \eex$$ 若 $\dps{\sum_{n=1}^\infty a_n<\infty}$, 求证: $A$ 有唯一的不动点.
提示: 存在性: 当 $n$ 充分大时, $A^n$ 是压缩映射.
2 ($10$分) 在度量空间中求证: 基本列是收敛列, 当且仅当其存在一收敛子列.
提示: 充分性: 利用三角不等式.
3 ($15$分) 在完备度量空间中求证: 为了子集 $A$ 是列紧的, 其充分必要条件是对 $\forall\ \ve>0$, 存在 $A$ 的列紧的 $\ve$-网.
提示: 重复利用 Hausdorff 定理.
4 ($15$分) 设 $e_1,e_2,\cdots,e_n$ 是实 $B^*$ 空间 $\calX$ 中的线性无关的向量组. 证明: 存在 $c>0$, 使得对所有 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \bbR^n$, 有 $$\bex \sen{\sum_{i=1}^nx_ie_i}\geq c\max_{1\leq i\leq n}\sev{x_i}. \eex$$
提示: 考虑 $\calX$ 的有限维 $B$ 子空间 $span\sed{e_i}_{i=1}^n$, 其上的所有范数均是等价的.
5 ($10$分) 在内积空间 $(\calX,(\cdot,\cdot))$ 中证明: 内积 $(x,y)$ 是 $\calX\times \calX$ 上的关于范数 $\sen{\cdot}$ 的连续函数.
提示: 分拆后利用三角不等式.
6 ($10$分) 设 $\calX$ 是 $B^*$ 空间, $C$ 是一含 $\theta$ 点的闭凸集, $P(x)$ 是由 $C$ 产生的 Minkowski 泛函. 求证:
(1)如果 $C$ 是有界的, 则 $$\bex P(x)=0\lra x=0; \eex$$
(2)若 $C$ 以 $\theta$ 为内点, 则 $C$ 是吸收的, 且 $P(x)$ 是一致连续的.
提示:
(1)利用定义 $$\bex P(x)=\inf \sed{\lambda>0;\ \frac{x}{\lambda}\in C}\quad\sex{\forall\ x\in \calX}; \eex$$ (2)利用范数的齐次性及 $P(x)$ 适合的三角不等式.
7 ($15$分) 设 $\calX$ 是 Hilbert 空间, $\calX_0$ 是 $\calX$ 的闭子空间, $\sed{e_n}$, $\sed{f_n}$ 分别是 $\calX_0$ 和 $\calX_0^\perp$ 的正交规范基. 求证: $\sed{e_n}\cup \sed{f_n}$ 是 $\calX$ 的正交规范基.
提示: 利用 Hilbert 空间中对于闭子空间的正交分解.
8 ($15$分) 证明在实 空间中下述命题等价:
(1) $x\perp y$;
(2) 对所有的 $k\in\bbR$, 有 $\sen{x+ky}=\sen{x-ky}$;
(3) 对所有的 $k\in \bbR$, 有 $\sen{x+ky}=\sen{x}$.
提示: 平方展开即可.
9 (附加题, $10$分) 设 $E$ 是 $B^*$ 空间 $\calX$ 的一子集. 证明:
(1) 若 $span E\neq \calX$, 则 $E^o=\emptyset$;
(2)若 $\calX$ 是 $\bbR$ 上的有限维 $B^*$ 空间, $E$ 是 $\calX$ 中的包含 $\theta$ 的闭凸集, 则 $$\bex span E=\calX\ \lra\ E^o\neq \emptyset. \eex$$
提示:
(1) 用反证法. 若 $E^o\neq \emptyset$, 则 $$\bex \exists\ x_0\in E,\ r>0,\ s.t.\ B(x_0,r)\subset E. \eex$$ 于是 $$\bex \theta\neq x\in \calX&\ra& x_0+\frac{r}{2\sen{x}}x\in B(x_0,r)\subset E\\ &\ra& \exists\ y\in B(x_0,r)\subset E,\ s.t.\ x_0+\frac{r}{2\sen{x}}x=y\\ &\ra& x=\frac{2\sen{x}}{r}\sex{-x_0+y}\in span E. \eex$$ (2)$\la$: 由 (a) 即知. $\ra$: 设 $span E=\calX$, 则存在 $E$ 中线性无关的向量组 $\sed{e_i}_{i=1}^n\subset E$ 使得 $span \sed{e_i}_{i=1}^n=\calX$. 记 $$\bex e_0=\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^n e_i\sex{\mbox{点列 }0,e_1,\cdots,e_n \mbox{的重心}}, \eex$$ 则由 $0\in E$ 及 $E$ 凸知 $e_0\in E$. 往证 $e_0\in E^o$. 事实上, $$\bex x\in \calX&\ra&\exists\ !\ \mu_i\in \bbR,\ s.t.\ x=\sum_{i=1}^n\mu_i(e_i-e_0)+e_0\\ &\ra&x=\sum_{i=1}^n \mu_ie_i+\sex{1-\sum_{j=1}^n \mu_j}e_0\\ & &\quad =\sum_{i=1}^n \mu_ie_i+\sex{1-\sum_{j=1}^n \mu_j} \frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^ne_i\\ & &\quad =\sum_{i=1}^n \sez{\mu_i+\frac{1}{n+1}\sex{1-\sum_{j=1}^n\mu_j}}e_i\\ & &\quad \equiv \sum_{i=1}^n \lambda_ie_i. \eex$$ 当 $\dps{\max_{1\leq i\leq n}\sev{\mu_i}}$ 充分小时, $$\bex 0<\lambda_i<1\quad\sex{1\leq i\leq n},\quad \sum_{i=1}^n\lambda_i<1. \eex$$ 于是由 $0\in E$ 及 $E$ 凸知 $x\in E$. 如此, 当 $$\bex \sen{x-e_0} =\sen{\sum_{i=1}^n \mu_i(e_i-e_0)} \leq \sum_{i=1}^n \sev{\mu_i}\cdot\sen{e_i-e_0} \leq \max_{1\leq i\leq n}\sev{\mu_i}\cdot \sum_{i=1}^n \sen{e_i-e_0} \eex$$ 充分小时, $y\in E$.
