[家里蹲大学数学杂志]第031期密度的震荡控制

当密度 $\varrho$ 的正则性没有$L^2$ 时, 我们用如下的震荡估计:

$$\bee\label{eq} \sup_{k>1}\limsup_{\delta\to 0^+} \sen{T_k(\varrho_\delta)-T_k(\varrho)}_{\gamma+1} \leq L(\Omega,\bbf,\bbg,m), \eee$$ 其中 $$\bex T_k(t)=\left\{\ba{ll} t,&0\leq t\leq k,\\ k,&t\geq k.  \ea\right.  \eex$$  证明: $$\bex & &\limsup_{\delta\to 0^+}\int \sev{T_k(\varrho_\delta)-T_k(\varrho)}^{\gamma+1}\\ & &\leq\limsup_{\delta\to 0^+}\int \sex{\varrho_\delta-\varrho}^\gamma \sex{T_k(\varrho_\delta)-T_k(\varrho)}\\ & &\leq\limsup_{\delta\to 0^+}\int \sex{\varrho_\delta^\gamma-\varrho^\gamma} \sex{T_k(\varrho_\delta)-T_k(\varrho)}\\ & &=\int \overline{\varrho^\gamma T_k(\varrho)}-\overline{\varrho^\gamma}T_k(\varrho)-\varrho^\gamma \overline{T_k(\varrho)}+\varrho^\gamma T_k(\varrho)\\ & &=\int \overline{\varrho^\gamma T_k(\varrho)} -\overline{\varrho^\gamma}\overline{T_k(\varrho)}\\ & &\quad +\int \sex{\overline{\varrho^\gamma}-\varrho^\gamma}\sex{\overline{T_k(\varrho)}-T_k(\varrho)}\\ & &\leq \int \overline{\varrho^\gamma T_k(\varrho)} -\overline{\varrho^\gamma}\overline{T_k(\varrho)}\quad\sex{\mbox{凸性}}\\ & &=(\lambda+2\mu)\int \overline{T_k(\varrho)\Div\bbu}-\overline{T_k(\varrho)}\Div\bbu\quad\sex{\mbox{有效粘性通量}}\\ & &=(\lambda+2\mu)\limsup_{\delta\to 0^+} \int T_k(\varrho_\delta)\Div\bbu_\delta -\overline{T_k(\varrho)}\Div\bbu_\delta\\ & &\leq (\lambda+2\mu) \limsup_{\delta\to 0^+} \sez{\sen{\bbu_\delta}_2\cdot\sen{T_k(\varrho_\delta)-\overline{T_k(\varrho)}}_2}\\ & &\leq C\limsup_{\delta\to 0^+} \sen{T_k(\varrho_\delta)-T_k(\varrho)}_{\gamma+1}. \eex$$