数学
设 $f:[0,1]\to [0,1]$ 是 $C^2$ 函数, $f(0)=f(1)=0$, 且 $f''(x)
(Carath\'eodory 不等式) 利用 Scharwz 引理及线性变换, 证明: 若函数 $f(z)$ 在圆 $|z|
若 $f(z)$ 在 $D(0,1)$ 上全纯, 且 $f(0)=0$. 如果 $|\Re f(z)|
求笛卡尔叶形曲线 $x^3+y^3=3axy\ (a>0)$ 所围图形的面积. 解答: 在极坐标 $$\bex x=r\cos t,\quad y=r\sin t \eex$$ 下, 笛卡尔叶形线为 $$\beex \bea r^3\cos^3 t+r^3\sin^3t&=...
设 $f(x)$ 在区间 $[0,\pi]$ 上连续, 且 $\dps{\int_0^\pi f(x)\rd x=\int_0^\pi f(x)\cos x\rd x=0}$, 求证在 $(0,\pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1,\xi_2$, 使得 $f(\xi_1)=f(\xi_2)=0$.
设 $f(x)$ 是 $[0,\infty)$ 上的单调函数, 则对任意固定的 $a$, 有 $\dps{\vlm{n}\int_0^a f(x)\sin nx\rd x =0}$; 若同时还有 $\dps{\vlm{x}f(x)=0}$, 则 $\dps{\vlm{n}\int_0^\infty f(x)\sin nx\rd x=0}$.
$$e^{i\pi}+1=0$$