[再寄小读者之数学篇](2014-05-23 $\ln x-ax=0$ 有两个根时的估计)

已知函数 $f(x)=\ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>e^2$.

证明: 由

$$\bex \ln x=ax,\quad g(x)\equiv \cfrac{\ln x}{x}=a \eex$$ 有两根及 $$\bex g'(x)=\cfrac{1-\ln x}{x^2}\sedd{\ba{ll} >0,&0<x<e\\ <0,&x>e \ea} \eex$$ $$\bex \lim_{x\to0}g(x)=-\infty,\quad g(e)=\cfrac{1}{e},\quad \lim_{x\to +\infty} g(x)=0 \eex$$ 知 $0<a<\cfrac{1}{e}$. 不妨设 $0<x_1<e<x_2<\infty$. 另外, 由 $$\beex \bea g(x_2)&=g(x_1)=g(e)+\int_e^{x_1} \cfrac{1-\ln t}{t^2}\rd t\\ &=g(e)+\int_e^{\cfrac{e^2}{x_1}} \cfrac{\ln s-1}{\cfrac{e^4}{s^2}}\cdot \cfrac{e^2}{-s^2}\rd s\quad\sex{t=\cfrac{e^2}{s}}\\ &=g(e)+\int_e^{\cfrac{e^2}{x_1}} \cfrac{1-\ln s}{e^2}\rd s\\ &<g(e)+\int_e^{\cfrac{e^2}{x_1}}\cfrac{1-\ln s}{s^2}\rd s\\ &=g\sex{\cfrac{e^2}{x_1}} \eea \eeex$$ 及 $g$ 在 $(e,\infty)$ 上的严格递减性知 $x_2>\cfrac{e^2}{x_1}$.