数列$\begin{Bmatrix} {x}_{n} \end{Bmatrix}$满足如下定义: $$a>0,\quad b>0; \qquad {x}_{1}=a,\quad{x}_{2}=b ;\qquad {x}_{n+2}=2+\cfrac{1}{{x}_{n+1}^{2}}+\cfrac{1}{{x}_{n}^{2}},\qquad n\geq 1.$$ 讨论该数列 $\begin{Bmatrix} {x}_{n} \end{Bmatrix}$ 的敛散性.
证明: (来自 magic9901) 设 \[\lim\limits_{\overline{n\to+\infty}}x_n=A,\quad\overline{\lim\limits_{n\to+\infty}}x_n=B\] 于是就有 $2<A\leqslant B<\cfrac{5}{2}$，则由递推关系式: \[x_{n+2}=2+\cfrac{1}{x_{n+1}^2}+\cfrac{1}{x_n^2}\] 就得到: $$\begin{eqnarray*}A&=&\lim\limits_{\overline{n\to+\infty}}x_{n+2}\\ &=&\lim\limits_{\overline{n\to+\infty}}\left(2+\cfrac{1}{x_{n+1}^2}+\cfrac{1}{x_n^2}\right)\\ &\geqslant&2+\lim\limits_{\overline{n\to+\infty}}\cfrac{1}{x_{n+1}^2}+\lim\limits_{\overline{n\to+\infty}}\cfrac{1}{x_n^2}\\ &=&2+\cfrac{1}{\overline{\lim\limits_{n\to+\infty}}x_{n+1}^2}+\cfrac{1}{\overline{\lim\limits_{n\to+\infty}}x_n^2}\\ &=&2+\cfrac{2}{B^2}.\end{eqnarray*}$$ 同理可以得到: \[B\leqslant 2+\cfrac{2}{A^2}\] 因此就有: \[0\leqslant B-A\leqslant \cfrac{2}{A^2}-\cfrac{2}{B^2}=\cfrac{2(A+B)}{A^2B^2}(B-A)\] 注意到: \[\cfrac{128}{625}<\cfrac{2(A+B)}{A^2B^2}<\cfrac{5}{8}\] 则得到: $A=B$, 所以就有: \[\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=A=B=x\in\sex{2,\cfrac{5}{2}}.\]
