[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 二阶矩阵的不等式)

(来自质数) 设$A,B$ 都是实数域上的两个二阶方阵, 且 $AB=BA$.  证明：对于任意实数 $x,y,z$,有

$$4xz\det(xA^2+yAB+zB^2)\geq (4xz-y^2)(x\det(A)-z\det(B))^2$$

证明: (来自 torsor) 因为 $A,B$ 可交换, 所以在复数域上它们可以同时上角化. 这一结论可以参考复旦高代教材第六章总复习题18, 注意 $A,B$ 的特征值一般是复数, 所以这一结论一般来说只能在复数域上成立. 设 $P$ 为二阶可逆复方阵, 使得

$$P^{-1}AP=\begin{bmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix},\, P^{-1}BP=\begin{bmatrix} \mu_1 & * \\ 0 & \mu_2 \end{bmatrix}. \cdots\cdots (1)$$ 在要证明不等式的左边左乘 $|P^{-1}|$, 右乘 $|P|$, 利用 (1) 式可将要证的不等式化为以下不等式: $$4xz(\lambda_1^2x+\lambda_1\mu_1y+\mu_1^2z)(\lambda_2^2x+\lambda_2\mu_2y+\mu_2^2z) \geq (4xz-y^2)(\lambda_1\lambda_2x-\mu_1\mu_2z)^2. \cdots\cdots (2)$$ 将 (2) 式的左边减去右边, 并进行化简可得: $$\mathrm{LHS}-\mathrm{RHS}=\Big(2xz(\lambda_1\mu_2+\lambda_2\mu_1)+y(|A|x+|B|z)\Big)^2. \cdots\cdots (3)$$ 现在只要说明 $\lambda_1\mu_2+\lambda_2\mu_1$ 是实数, 即可得到 (3) 式对任意的实数 $x,y,z$ 都是非负的, 从而证明了不等式 (2) 以及原来的不等式. 注意到 $$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(P^{-1}ABP)=\mathrm{tr}\Big((P^{-1}AP)(P^{-1}BP)\Big)=\lambda_1\mu_1+\lambda_2\mu_2,$$ 又 $$\mathrm{tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2,\,\mathrm{tr}(B)=\mu_1+\mu_2,$$ 因此 $\lambda_1\mu_2+\lambda_2\mu_1=\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)-\mathrm{tr}(AB)$ 是实数.