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[再寄小读者之数学篇](2014-04-23 行列式的导数)

2014-05-07 539

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简介： 设

$A(t)=(a_{ij}(t))$ 中每个

$a_{ij}(t)$ 都是可导的, 则

$\bex \cfrac{\rd}{\rd t}|A(t)|=|A|\tr \sez{A^{-1}\cfrac{\rd A}{\rd t}}. \eex$

设 $A(t)=(a_{ij}(t))$ 中每个 $a_{ij}(t)$ 都是可导的, 则

$\bex \cfrac{\rd}{\rd t}|A(t)|=|A|\tr \sez{A^{-1}\cfrac{\rd A}{\rd t}}. \eex$

张祖锦

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导数与微分总复习——“高等数学”

认真学习的小雅兰.

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[再寄小读者之数学篇](2014-11-26 正定矩阵乘积的特征值)

设

$A,B$ 都是实正定矩阵, 则

$A^{-1}B$ 的特征值都是正实数.

张祖锦

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[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 多项式)

多项式

$\bex p(z)=z^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 \eex$ 的根的估计.

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 代数)

Hilbert 零点定理: 设

$\bbF$ 是一个代数闭域,

$L$ 是

$\bbF[x_1,\cdots,x_n]$ 的一个真理想, 则 $$\bex \exists\ (a_1,\cdots,a_n)\in\bbF^n\ra f(a_1,\cdots,a_n)=0,\quad\forall\ f\in L.

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 数论)

1. 代数数:

$\al\in\bbC$ 称为代数数, 如果它是某个系数为有理数的非零多项式的根. 2. 代数数全体构成一个域. (利用伙伴矩阵, 张量积很容易证明) 3. 代数整数:

$\al\in\bbC$ 称为代数整数, 如果它是某个首一整系数多项式的根.

张祖锦

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[再寄小读者之数学篇](2014-10-27 Frobenius 范数是酉不变范数)

对任两酉阵

$U,V$ , 有

$\bex \sen{A}_F=\sen{UAV}_F. \eex$ 事实上, $$\beex \bea \sen{UAV}_F^2&=\tr(V^*A^*U^*\cdot UAV)\\ &=\tr (V^*A^*AV)\\ &=\tr(AVV^*A^*)...

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 二阶中值)

设

$f(x)$ 在

$[a,b]$ 上二阶可微, 试证: 对任意

$c\in (a,b)$ , 存在

$\xi\in (a,b)$ 使得 $$\bex \frac{f''(\xi)}{2}=\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)} +\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}.

张祖锦

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[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 与对数有关的不等式)

试证:

$\bex (1+a)\ln (1+a)+(1+b)\ln (1+b)0. \eex$ 提示: 对函数

$f(x)=x\ln x$ , 有 $$\bex f'(x)=\ln x+1,\quad f''(x)=\frac{1}{x}>0,\quad (x>0).

张祖锦

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张祖锦

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[再寄小读者之数学篇](2014-07-17 行列式的计算)

试计算矩阵

$A=(\sin(\al_i+\al_j))_{n\times n}$ (

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$D(\al)$ , 则 $$\b...

张祖锦

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[再寄小读者之数学篇](2014-07-09 多项式的辗转相除与线性变换)

设

$V$ 是由次数不超过

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$x^2-1$ 除

$f(x)$ 所得的商式及余式分别为

$q(x)$ 和

$r(x)$ , 记 $$\bex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x).

张祖锦

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