[复变函数]第21堂课 6 留数理论及其应用 6. 1 留数

0.  引言---回忆

(1)  Cauchy 积分公式 (第三章)

$$\beex \bea f\mbox{ 在 }D\mbox{ 内解析}, \mbox{ 在 }\bar D=D+\p D\mbox{ 上连续}&\ra \int_C \cfrac{f(z)}{z-a}\rd z=2\pi if(a),\quad a\in D\\ &\ra \int_C \cfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\rd z=\cfrac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(a),\quad a\in D \eea \eeex$$

(2)  Laurent 定理

$$\bex f\mbox{ 以 }a\mbox{ 为孤立奇点}\ra f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(z-a)^n, \eex$$ 其中 $$\bex c_n=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{|z-a|=\rho}\cfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\rd z, \eex$$ 特别地, 当 $n=1$ 时, $$\bex c_{-1}=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{|z-a|=\rho}f(z)\rd z.  \eex$$

(3)  它们都可用来计算周线积分, 比如 $\dps{I=\int_{|z|=1}\cfrac{\sin z}{z^2}\rd z}$:

a.  

$$\bex I=\cfrac{2\pi i}{1!}(\sin z)'|_{z=0}=2\pi i.  \eex$$

b.  

$$\beex \bea &\quad\cfrac{\sin z}{z^2}=\cfrac{1}{z^2}\sex{z-\cfrac{z^3}{3!}+\cdots} =\cfrac{1}{z}-\cfrac{z}{3!}+\cdots\\ &\ra I=2\pi i\cdot c_{-1}=2\pi i.  \eea \eeex$$ 但 Cauchy 积分定理只能计算复函数在周线内仅有一个极点的情形.

 

1.  留数

(1)  定义: 设 $a$ 为 $f$ 的孤立奇点, 则称积分

$$\bex \cfrac{1}{2\pi i}\int_{|z-a|=\rho}f(z)\rd z \eex$$ 为 $f$ 在 $a$ 的留数, 记作 $\underset{z=a}{\Res}f(z)$.

(2)  $\underset{z=a}{\Res}f(z)=c_{-1}$.

(3)  Cauchy 留数定理:

$$\bex (\mbox{大范围积分}) \int_Cf(z)\rd z=2\pi i\sum_{k=1}^n \underset{z=a_k}{\Res}f(z). \eex$$

 

2.  计算

(1)  设 $a$ 为 $f$ 的 $n$ 阶极点, 即

$$\bex f(z)=\cfrac{\phi(z)}{(z-a)^n},\quad \phi(a)\neq 0, \eex$$ 则 $$\bex \underset{z=a}{\Res}f(z) =\cfrac{\phi^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}. \eex$$

(2)  设 $a$ 为 $f$ 的一阶极点, $\phi(z)=(z-a)f(z)$, 则

$$\bex \underset{z=a}{\Res}f(z)=\phi(a). \eex$$

(3)  设 $a$ 为 $f$ 的二阶极点, $\phi(z)=(z-a)^2f(z)$, 则

$$\bex \underset{z=a}{\Res}f(z)=\phi'(a). \eex$$

(4)  设 $a$ 为 $f=\cfrac{\phi}{\psi}$ 的一阶极点 ($\phi(a)\neq 0,\ \psi(a)=0,\ \psi'(a)\neq 0$), 则

$$\bex \underset{z=a}{\Res}f(z)=\cfrac{\phi(a)}{\psi'(a)}. \eex$$

(5)  例

a.  $\dps{\int_{|z|=2}\cfrac{5z-2}{z(z-1)^2}\rd z}$.

b.  $\dps{\int_{|z|=n}\tan \pi z\rd z\ (n\in\bbZ^+)}$.

c.  $\dps{\int_{|z|=1}\cfrac{\cos z}{z^3}\rd z}$.

d.  $\dps{\int_{|z|=1} e^\frac{1}{z^2}\rd z}$.

e.  $\dps{\underset{z=1}{\Res} e^{\frac{1}{z-1}},\quad \underset{z=1}{\Res}\cfrac{z^{2n}}{(z-1)^n},\quad \underset{z=1}{\Res}\cfrac{e^z}{z^2-1},\quad \underset{z=-1}{\Res}\cfrac{e^z}{z^2-1}}$.

 

作业: P 262 T 1 (1)  (2)  (3) .