0. 引言---回忆
(1) Cauchy 积分公式 (第三章) $$\beex \bea f\mbox{ 在 }D\mbox{ 内解析}, \mbox{ 在 }\bar D=D+\p D\mbox{ 上连续}&\ra \int_C \cfrac{f(z)}{z-a}\rd z=2\pi if(a),\quad a\in D\\ &\ra \int_C \cfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\rd z=\cfrac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(a),\quad a\in D \eea \eeex$$
(2) Laurent 定理 $$\bex f\mbox{ 以 }a\mbox{ 为孤立奇点}\ra f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(z-a)^n, \eex$$ 其中 $$\bex c_n=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{|z-a|=\rho}\cfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\rd z, \eex$$ 特别地, 当 $n=1$ 时, $$\bex c_{-1}=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{|z-a|=\rho}f(z)\rd z. \eex$$
(3) 它们都可用来计算周线积分, 比如 $\dps{I=\int_{|z|=1}\cfrac{\sin z}{z^2}\rd z}$:
a. $$\bex I=\cfrac{2\pi i}{1!}(\sin z)'|_{z=0}=2\pi i. \eex$$
b. $$\beex \bea &\quad\cfrac{\sin z}{z^2}=\cfrac{1}{z^2}\sex{z-\cfrac{z^3}{3!}+\cdots} =\cfrac{1}{z}-\cfrac{z}{3!}+\cdots\\ &\ra I=2\pi i\cdot c_{-1}=2\pi i. \eea \eeex$$ 但 Cauchy 积分定理只能计算复函数在周线内仅有一个极点的情形.
1. 留数
(1) 定义: 设 $a$ 为 $f$ 的孤立奇点, 则称积分 $$\bex \cfrac{1}{2\pi i}\int_{|z-a|=\rho}f(z)\rd z \eex$$ 为 $f$ 在 $a$ 的留数, 记作 $\underset{z=a}{\Res}f(z)$.
(2) $\underset{z=a}{\Res}f(z)=c_{-1}$.
(3) Cauchy 留数定理: $$\bex (\mbox{大范围积分}) \int_Cf(z)\rd z=2\pi i\sum_{k=1}^n \underset{z=a_k}{\Res}f(z). \eex$$
2. 计算
(1) 设 $a$ 为 $f$ 的 $n$ 阶极点, 即 $$\bex f(z)=\cfrac{\phi(z)}{(z-a)^n},\quad \phi(a)\neq 0, \eex$$ 则 $$\bex \underset{z=a}{\Res}f(z) =\cfrac{\phi^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}. \eex$$
(2) 设 $a$ 为 $f$ 的一阶极点, $\phi(z)=(z-a)f(z)$, 则 $$\bex \underset{z=a}{\Res}f(z)=\phi(a). \eex$$
(3) 设 $a$ 为 $f$ 的二阶极点, $\phi(z)=(z-a)^2f(z)$, 则 $$\bex \underset{z=a}{\Res}f(z)=\phi'(a). \eex$$
(4) 设 $a$ 为 $f=\cfrac{\phi}{\psi}$ 的一阶极点 ($\phi(a)\neq 0,\ \psi(a)=0,\ \psi'(a)\neq 0$), 则 $$\bex \underset{z=a}{\Res}f(z)=\cfrac{\phi(a)}{\psi'(a)}. \eex$$
(5) 例
a. $\dps{\int_{|z|=2}\cfrac{5z-2}{z(z-1)^2}\rd z}$.
b. $\dps{\int_{|z|=n}\tan \pi z\rd z\ (n\in\bbZ^+)}$.
c. $\dps{\int_{|z|=1}\cfrac{\cos z}{z^3}\rd z}$.
d. $\dps{\int_{|z|=1} e^\frac{1}{z^2}\rd z}$.
e. $\dps{\underset{z=1}{\Res} e^{\frac{1}{z-1}},\quad \underset{z=1}{\Res}\cfrac{z^{2n}}{(z-1)^n},\quad \underset{z=1}{\Res}\cfrac{e^z}{z^2-1},\quad \underset{z=-1}{\Res}\cfrac{e^z}{z^2-1}}$.
作业: P 262 T 1 (1) (2) (3) .
