(来自 james2009) 设$A\in {M}_{n}\left( \mathbb{R}\right)$,${A}^{'}A$ 的全部特征值中: 最大值的设为${\lambda }_{max}$, 最小值的设为 ${\lambda }_{min}$. 问下述结论是否成立: $A$ 属于 $\mathbb{C}$ 的任意特征值 $\xi$ 有： $$\bex \sqrt{\lm_{min}}\leq |\xi|\leq \sqrt{\lm_{max}}. \eex$$
证明: (来自龙凤呈祥) 对于复二次型$x^HA^TAx$易知$\forall x\in\mathbb C^n$ 有$$ \lambda_{\min}\|x\|^2\leq\|Ax\|^2\leq\lambda_{\max}\|x\|^2 $$ 而$Ax=\xi x$可得 $$\|Ax\|^2=\xi\overline{\xi}\|x\|^2$$ 结合两个式子就行了.
