1 ( 20 分 ) 叙述算子序列一致收敛、强收敛、弱收敛的定义, 举例说明强收敛而不一致收敛.
2 ( 20 分 ) 设 $\calX=C[a,b]$, 线性算子 $A$ 定义为 \[ (Ax)(t)=\int_a^tx(\tau)\rd\tau,\quad x\in C[a,b]. \] 证明 $A$ 是广义的幂零算子, 即 \[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sen{A^n}}=0, \] 并求 $\sigma(A)$.
3 ( 15 分 ) 设 $\calX$ 是 $B^*$ 空间, $M$ 是 $\calX$ 的线性子空间. 若 $x_0\in\calX$ 适合 \[ d=\rho(x_0,M)>0, \] 证明存在 $f\in \calX^*$, 使得
(1) $f(x)=0,\quad\forall\ x\in M$;
(2) $f(x_0)=1$;
(3) $\dps{\sen{f}=\frac{1}{d}}$.
4 ( 20 分 ) 设 $A$ 是 $B$ 空间上的闭线性算子, 且记 \[ R_\lambda(A)=(\lambda I-A)^{-1},\quad\lambda\in \rho(A). \] 求证:
(1) $\rho(A)$ 是开集;
(2) $R_\lambda(A)$ 是 $\rho(A)$ 内的算子值解析函数;
(3) 设 $A$ 是线性有界算子, 则 $\sigma(A)\neq \emptyset$.
5 ( 15 分 ) 叙述并证明共鸣定理.
6 ( 10 分 ) 设 $\calX$ 是 $B^*$ 空间, 且 $\calX^*$ 是可分的, 证明: $\calX$ 本身是可分的.
