[家里蹲大学数学杂志]第043期《泛函分析》试题

1 ( 20 分 ) 叙述算子序列一致收敛、强收敛、弱收敛的定义, 举例说明强收敛而不一致收敛.

2 ( 20 分 ) 设 $\calX=C[a,b]$, 线性算子 $A$ 定义为

3 ( 15 分 ) 设 $\calX$ 是 $B^*$ 空间, $M$ 是 $\calX$ 的线性子空间. 若 $x_0\in\calX$ 适合

(1) $f(x)=0,\quad\forall\ x\in M$;

(2) $f(x_0)=1$;

(3) $\dps{\sen{f}=\frac{1}{d}}$.

4 ( 20 分 ) 设 $A$ 是 $B$ 空间上的闭线性算子, 且记

(1) $\rho(A)$ 是开集;

(2) $R_\lambda(A)$ 是 $\rho(A)$ 内的算子值解析函数;

(3) 设 $A$ 是线性有界算子, 则 $\sigma(A)\neq \emptyset$.

5 ( 15 分 ) 叙述并证明共鸣定理.

6 ( 10 分 ) 设 $\calX$ 是 $B^*$ 空间, 且 $\calX^*$ 是可分的, 证明: $\calX$ 本身是可分的.