(from yqs210)
$$(1+\frac{1}{1*2}) (1+\frac{1}{2*3}) (1+\frac{1}{3*4}).......(1+\frac{1}{n*(n+1)}) =? $$
$$(1+\frac{1}{1^2} )(1+\frac{1}{2^2} )(1+\frac{1}{3^2} )......(1+\frac{1}{n^2} )=?$$
$$(1+\frac{1}{2^1} )(1+\frac{1}{2^2} )(1+\frac{1}{2^3} )......(1+\frac{1}{2^n} )=?$$
或者
$$(1+p_1)(1+p_2)(1+p_3)......(1+p_n)=?$$
其中 $\lim_{ n\to \infty} \frac{\ln (1+p_n)}{p_n}=1$.
说明： $(1+p_1)(1+p_2)(1+p_3)......(1+p_n)$的收敛性与 $\sum_{k=1}^n p_k$相同, 但是和不同.
其中两边取对数的方法, 并使用 $\lim_{ n\to \infty} \frac{\ln (1+p_n)}{p_n}=1$, 可知三数列积是收敛的.
