跟锦数学2017年下半年 (不再更新网页版)

(170701) [南开大学2017数分] 设 $\dps{x_n=\sum_{k=1}^n\f{k\sin^2k}{n^2+k\sin^2k}}$ ($n=1,2,\cdots$). 求证: 数列 $\sed{x_n}$ 收敛. (solution)

(170702)[南京大学2013数分] 在 $\bbR^4$ 中定义如下有界区域 $\Om$:

$$\bex\Om=\sed{(x,y,z,w)\in\bbR^4;\ |x|+|y|+\sqrt{z^2+w^2}\leq 1}. \eex$$ 计算 $\Om$ 的体积. (solution)

(170703) [南京大学数分] 设 $\sed{a_n}$ 为数列, $\dps{S_n=\sum_{k=1}^n a_k}$ 为部分和.
(1). 当 $\dps{\vlm{n}a_n=0}$ 时, 证明 $\dps{\vlm{n}\f{S_n}{n}=0}$.
(2). 设 $\sed{S_n}$ 有界, $\dps{\vlm{n}(a_{n+1}-a_n)=0}$, 证明 $\dps{\vlm{n} a_n=0}$.
(3). 当 $\dps{\vlm{n}\f{S_n}{n}=0}$ 且 $\dps{\vlm{n}(a_{n+1}-a_n)=0}$ 时, 能否推出 $\dps{\vlm{n}a_n=0}$? 若能, 给出证明; 若不能, 请构造反例. (solution)

(170704) [武汉大学2017数分] 求 $\dps{\vlm{n}\sum_{k=1}^n \sex{\e^\f{k^2}{n^3}-1}}$. (solution)

(170705) [天津大学1979数分] 计算

$$\bex \oint_L x^2yz\rd x +(x^2+y^2)\rd y+(x+y+1)\rd z, \eex$$ 其中 $L$ 为曲面 $x^2+y^2+z^2=5$ 和 $z=x^2+y^2+1$ 的交线, 从 $z$ 轴正向看 $L$ 是逆时针方向. (solution)

(170706) [(170705) 的另外解法: 通过 Stokes 公式] (solution)

(170707) [(170705) 的另外解法: 通过 Stokes 公式, 另外一张曲面] (solution)

(170708)  试证: $\dps{\vsmk{k}{0}\f{2^kz^{2^k}}{1+z^{2^k}}=\f{z}{1-z}}$, $\forall\ z:\ |z|<1$. (solution)

(170709) [扬州大学2017数分] 设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续可导, $f(0)=f(1)=0$, 求证:

$$\bex \sez{\int_0^1 xf(x)\rd x}^2\leq \f{1}{45} \int_0^1 [f'(x)]^2\rd x, \eex$$ 等号成立当且仅当 $f(x)=A(x-x^3)$ 时成立, 其中 $A$ 为常数. (solution)

(170710) 设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的可微凹函数, $f(a)=f(b)=0$, $f'(a)=\al>0$, $f'(b)=\be<0$. 试证:

$$\bex 0\leq \int_a^b f(x)\rd x\leq \f{1}{2}\al \be \f{(b-a)^2}{\be-\al}. \eex$$ (solution)

(170711) 试求

$$\bex I=\int_2^4\frac{\sqrt{\ln (9-x)}}{\sqrt{\ln(9-x)}+\sqrt{\ln(x+3)}}\rd x. \eex$$ (solution)

(170712) [中南大学2016数分] 已知球缺高维 $h$, 所在球半径为 $R$ 的球缺体积为 $\dps{\f{\pi}{3}(3R-h)h^2}$. 现有一球体:

$$\bex (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\leq 12 \eex$$ 被平面 $x+y+z=1$ 所截下的小球缺为 $\Om$, 记球缺上的球冠为 $\vSa$, 方向指向球外, 求第二型曲面积分: $$\bex I=\iint_\vSa x\rd y\rd z+y\rd z\rd x+z\rd x\rd y. \eex$$ (solution)