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[再寄小读者之数学篇](2014-04-22 平方差公式在矩阵中的表达)

2014-05-07 1063

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简介： 设

$A,B$ 都是

$n$ 阶复方阵, 且

$A^2+B^2=2AB$ . 证明: (1)

$AB-BA$ 不可逆; (2) 如果

$\rank(A-B)=1$ , 那么

$AB=BA$ .

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶复方阵, 且 $A^2+B^2=2AB$ . 证明:

(1) $AB-BA$ 不可逆;

(2) 如果 $\rank(A-B)=1$ , 那么 $AB=BA$ .

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 代数)

Hilbert 零点定理: 设

$\bbF$ 是一个代数闭域,

$L$ 是

$\bbF[x_1,\cdots,x_n]$ 的一个真理想, 则 $$\bex \exists\ (a_1,\cdots,a_n)\in\bbF^n\ra f(a_1,\cdots,a_n)=0,\quad\forall\ f\in L.

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 多项式)

多项式

$\bex p(z)=z^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 \eex$ 的根的估计.

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 有限几何)

每个有限几何的线的条数

$\geq$ 点的个数. 若一个有限几何的线数

$=$ 点数, 则任意两条线都相交.

张祖锦

497 0 0

张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 数论)

1. 代数数:

$\al\in\bbC$ 称为代数数, 如果它是某个系数为有理数的非零多项式的根. 2. 代数数全体构成一个域. (利用伙伴矩阵, 张量积很容易证明) 3. 代数整数:

$\al\in\bbC$ 称为代数整数, 如果它是某个首一整系数多项式的根.

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 关于平方数的交叉和的两个代数等式)

For

$n\geq 1$ to be an integer,

$\bex (2n)^2-(2n+1)^2+\cdots+(4n)^2 =-(4n+1)^2+\cdots+(6n)^2, \eex$ $$\bex (2n+1)^2-(2n+2)^2+\cdots+(4n-1)^2 =-(4n)^2+(4n+1)^2-\cdots+(6n-1)^2.

张祖锦

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张祖锦

机器学习/深度学习

[再寄小读者之数学篇](2014-07-17 行列式的计算)

试计算矩阵

$A=(\sin(\al_i+\al_j))_{n\times n}$ (

$n\geq2$ ) 的行列式. 提示: 根据行列式的性质: (1) 行列式两列线性相关, 则行列式为零; (2) 若记第

$k$ 列为向量

$\al$ 的行列式为

$D(\al)$ , 则 $$\b...

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 凹函数与次线性性)

设

$f$ 在

$[0,c]$ 上连续,

$f(0)=0$ , 且当

$x\in (0,c)$ 时, $f''(x)

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 二阶中值)

设

$f(x)$ 在

$[a,b]$ 上二阶可微, 试证: 对任意

$c\in (a,b)$ , 存在

$\xi\in (a,b)$ 使得 $$\bex \frac{f''(\xi)}{2}=\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)} +\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}.

张祖锦

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Perl

[再寄小读者之数学篇](2014-07-09 多项式的辗转相除与线性变换)

设

$V$ 是由次数不超过

$4$ 的一切实系数一元多项式组成的向量空间. 对于

$V$ 上的任意多项式

$f(x)$ , 以

$x^2-1$ 除

$f(x)$ 所得的商式及余式分别为

$q(x)$ 和

$r(x)$ , 记 $$\bex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x).

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 向量公式)

$$\bex \n\times({\bf a}\times{\bf b})=({\bf b}\cdot\n){\bf a} -({\bf a}\cdot\n){\bf b}+{\bf a}(\n\cdot{\bf b})-{\bf b}(\n\cdot{\bf a}).

张祖锦

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