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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.3

3. (Bhatia-Davis) 设 $A,B\in M_n$ 为酉矩阵, 则 $$\bex \rd(\sigma(A),\sigma(B))\leq \sen{A-B}_\infty. \eex$$     证明: [见 R.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.2

2. 用 $\im A$ 表示 $A\in M_n$ 的像空间: $$\bex \im A=\sed{Ax;x\in\bbC^n}. \eex$$ 设 $A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 满足 $$\bex \sen{A-B}_\infty

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.1

1. $A\in M_n$ 称为正交投影矩阵如果 $A$ 是 Hermite 矩阵且幂等: $$\bex A^*=A=A^2. \eex$$ 证明: 若 $A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 则 $\sen{A-B}_\infty \leq 1$.

上海交通大学2000年数学分析考研试题

上海交通大学1999年数学分析考研试题

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上海交通大学2001年数学分析考研试题

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.17

17. (Ando-Zhan) 设 $A,B\in M_n$ 半正定, $\sen{\cdot}$ 是一个酉不变范数, 则 $$\bex \sen{(A+B)^r}\leq \sen{A^r+B^r},\quad (0

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.16

16. (Fan-Hoffman) 设 $A\in M_n$, $A=UP$ 为极分解, $U$ 为酉矩阵, $P$ 为半正定矩阵. 若 $W\in M_n$ 为酉矩阵, 则 $$\bex \sen{A-U}\leq \sen{A-W}\leq \sen{A+U} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.15

15. (Fan-Hoffman) 设 $A,H\in M_n$, 其中 $H$ 为 Hermite 矩阵, 则 $$\bex \sen{A-\Re A}\leq \sen{A-H} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.14

14. 设 $A,B\in M_n$, 则对 $M_n$ 上的任何酉不变范数有 $$\bex \frac{1}{2}\sen{\sex{\ba{cc} A+B&0\\ 0&A+B \ea}}\leq \sen{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}} \leq \sen{\sex{\ba{cc} |A|+|B|&0\\ 0&0 \ea}}.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.13

13. (Bhatia-Davis) 设 $A,B,X\in M_n$, 则 $$\bex \sen{AXB^*}\leq \frac{1}{2}\sen{A^*AX+XB^*B} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.12

12. 设 $p,q$ 为正实数, 满足 $\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$, 则对 $A,B\in M_n$ 和酉不变范数有 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{|A|^p}^\frac{1}{p} \sen{|B|^q}^\frac{1}{q}.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.11

11. $M_n$ 上的范数 $\sen{\cdot}$ 称为是对称的, 若 $$\bex \sen{ABC}\leq \sen{A}_\infty\sen{C}_\infty \sen{B},\quad \forall\ A,B,C\in M_n.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.10

10. 设 $A,B\in M_n$ 并且 $AB$ 为 Hermite 矩阵, 则对任何酉不变范数 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{\Re(BA)}. \eex$$       证明: (1).

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.9

9. 设 $\sen{\cdot}$ 是 $M_n$ 上的酉不变范数, 则 $\sen{\cdot}$ 是次可乘当且仅当 $$\bex \sen{\diag(1,0,\cdots,0)}\geq 1. \eex$$       证明: $\ra$: 若 $\sen{\cdot}$ 次可乘, ...

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.8

8. 设 $p,q$ 为正实数, 满足 $\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$, 设 $x,y\in \bbR^n_+$, 则对 $\bbR^n$ 上的任何对称规度函数 $\varphi$ 有 $$\bex \varphi(x\circ y)\leq [\varphi(x...

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.7

7. 设 $A_0\in M_n$ 正定, $A_i\in M_n$ 半正定, $i=1,\cdots,k$, 则 $$\bex \tr \sum_{j=1}^k \sex{\sum_{i=0}^jA_i}^{-2}A_j

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.6

6. 设 $A,B\in M_n$ 半正定, 则 $$\bex s_j(A-B)\leq s_j\sex{ \sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}},\quad j=1,\cdots,n.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.5

5. 设 $A,B\in M_n$, 则 $$\bex s_j(AB)\leq \sen{A}_\infty s_j(B),\quad s_j(AB)\leq \sen{B}_\infty s_j(A),\quad j=1,\cdots,n.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.4

4. 设 $A=(a_{ij})\in M_n$, 则 $$\bex \sex{|a_{11}|,\cdots,|a_{nn}|}\prec_ws(A). \eex$$       证明: 一般我们都用 Fan 支配原理的顺推情形: $$\bex s(A)\prec s(B)\lra \mbox{ 对任意酉不变范数 }\sen{\cdot},\ \sen{A}\leq \sen{B}.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.3

3. $G\in M_n$ 称为一个秩 $k$ 部分等距矩阵, 若 $$\bex s_1(G)=\cdots=s_k(G)=1,\quad s_{k+1}(G)=\cdots=s_n(G)=0. \eex$$ 证明对 $X\in M_n$, $$\bex \sum_{j=1}^k s_j(X) =\...

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.2

2. (Thompson). 设 $A,B\in M_n$, 则存在酉矩阵 $U, V\in M_n$ 满足 $$\bex |A+B|\leq U|A|U^*+V|B|V^*. \eex$$       证明: (1).

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.1

1. (Fan-Hoffman). 设 $A\in M_n$, 记 $\Re A=(A+A^*)/2$. 则 $$\bex \lm_j(\Re A)\leq s_j(A),\quad j=1,\cdots,n.

[再寄小读者之数学篇](2014-11-02 Herglotz' trick)

设 $f$ 是 $\bbR$ 上周期为 $1$ 的连续可微函数, 满足 $$\bee\label{141102_f} f(x)+f\sex{x+\frac{1}{2}}=f(2x),\quad\forall\ x.

[再寄小读者之数学篇](2014-11-02 平方和公式在正定矩阵上的推广)

一般, 我们有 $$\bex a,b>0\ra 2ab\leq a^2+b^2. \eex$$ 但这个在正定矩阵中没有推广. 毕竟我们已有结论 ($A>0$ 表示 $A$ 正定) $$\bex A,B>0\not\ra AB\mbox{ 正定}.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.15

15. 设 $S_n[a,b]$ 表示所有元素属于给定的区间 $[a,b]$ 的 $n$ 阶实对称矩阵的集合. 对于 $j=1,n$ 确定 $$\bex \max\sed{\lm_j(A);\ A\in S_n[a,b]}\mbox{ 和 } \min\sed{\lm_j(A);\ A\in S_n[a,b]}, \eex$$ 以及分别取到最大值和最小值的矩阵.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.14

14. 用 Hadamard 不等式 (3.5) 证明下面的不等式 (也称为 Hadamard 不等式): 设 $A=(a_1,\cdots,a_n)\in M_n$, 则 $$\bex |\det A|\leq \prod_{i=1}^n \sen{a_i}, \eex$$ 其中 $\sen{\cdot}$ 表示列向量的欧氏范数.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.13

13. (Caylay 变换) 记 $i=\sqrt{-1}$. 若 $A$ 为 Hermite 矩阵, 则 $$\bex \phi(A)=(A-iI)(A+iI)^{-1} \eex$$ 是一个酉矩阵.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.12

12. (Webster) 设 $A=(a_{ij})$ 是有 $k$ 个正元素的 $n$ 阶双随机矩阵. 证明, 存在 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列 $\sigma$ 使得 $$\bex \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_{i\sigma(i)}}\leq k.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.11

11. (Ky Fan) 对于 $A\in M_n$, 记 $\Re A=(A+A^*)/2$. 证明: $$\bex \Re \lm(A)\prec \lm(\Re A), \eex$$ 其中 $\lm(A)$ 表示 $A$ 的特征值作成的向量, $\Re\lm(A)$ 表取 $A$ 的特征值的实部所得向量.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.10

10. 设 $A,B$ 是同阶半正定矩阵, $0\leq s\leq 1$. 证明: $$\bex \sen{A^sB^s}_\infty \leq \sen{AB}_\infty^s. \eex$$     证明:   (1).

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.9

9. 用公式 $$\bex t^r=\frac{\sin r\pi}{\pi}\int_0^\infty \frac{s^{r-1}t}{s+t}\rd s\quad \sex{00$ 的情形下证明结论如下.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.8

8. 证明每个半正定矩阵都有唯一的半正定平方根, 即若 $A\geq 0$, 则存在唯一的 $B\geq 0$ 满足 $B^2=A$.     证明: 由 $A\geq 0$ 知存在酉阵 $U$, 使得 $$\bex U^*AU=\diag(\lm_1,\cdots,\lm_n),\quad \lm_i\geq 0.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.7

7. 设 $A\in M_n$ 正定, $1\leq k\leq n$. 则 $$\bex \prod_{j=1}^n \lm_j(A)=\max_{U^*U=I_k} \det U^*AU,\quad \prod_{j=1}^n \lm_{n-j+1}(A)=\min_{U^*U=I_k} \det U^*AU, \eex$$ 其中 $U\in M_{n,k}$.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.6

6. 设 $A,B\in M_n$, $A$ 是正定矩阵, $B$ 是 Hermite 矩阵. 则 $$\bex A+B\mbox{ 正定当且仅当 }\lm_j(A^{-1}B)>-1,\quad j=1,\cdots,n.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.5

5. 不用 Weierstrass 定理, 直接证明 Hermite 矩阵的函数运算 (3.6) 与特定的谱分解无关.     证明: 设 $H$ 也有谱分解 $$\bex H=V\diag(\lm_1,\cdots,\lm_n)V^*, \eex$$ 则 $$\bex W\diag(\lm_...

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.4

4. 设 $x,y,u\in\bbR^n$ 的分量都是递减的. 证明:   (1). 若 $x\prec y$ 则 $\sef{x,u}\leq \sef{y,u}$.   (2). 若 $x\prec_w y$ 且 $u\in\bbR^n_+$, 则 $\sef{x,u}\leq \sef{y,u}$.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.3

3. (Aronszajn) 设 $$\bex C=\sex{\ba{cc} A&X\\ X^*&B \ea} \eex$$ 为 Hermite 矩阵, $C\in M_n$, $A\in M_k$. 设 $A,B,C$ 的特征值分别为 $\al_1\geq \cdots\geq \al_k$, $...

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.2

2. 设 $A\in M_n$, $B\in M_{r,t}$ 是 $A$ 的一个子矩阵. 则它们的奇异值满足 $$\bex s_j(B)\leq s_j(A),\quad j=1,\cdots,\min\sed{r,t}.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.1

1. 设 $A\in M_n$. 证明若 $AA^*=A^2$, 则 $A^*=A$.     证明: 由 Schur 酉三角化定理, 存在酉阵 $U$, 使得 $$\bex A=U^*BU, \eex$$ 其中 $B=(b_{ij})$ 为上三角阵.

只要醒着,你就必须思考数学---樊畿

You have to think about mathematics every waking moment!---Ky Fan   本文转载自''樊畿---为数学而生,数学乃是他的生命, 数学进展, 第40卷第1期, 2011年, 1-10.  

[再寄小读者之数学篇](2014-10-31 利用夹逼原理求极限)

设 $a,b,c>0$, 求极限 $$\bex \vlm{x}\sex{\frac{a^x+b^x+c^x}{3}}^x. \eex$$   解答: 不妨设 $a=\max\sed{a,b,c}$, 则 $$\bex \frac{a}{3^\frac{1}{x}}=\sex{\frac{a^x}...

[再寄小读者之数学篇](2014-10-27 Frobenius 范数是酉不变范数)

对任两酉阵 $U,V$, 有 $$\bex \sen{A}_F=\sen{UAV}_F. \eex$$   事实上, $$\beex \bea \sen{UAV}_F^2&=\tr(V^*A^*U^*\cdot UAV)\\ &=\tr (V^*A^*AV)\\ &=\tr(AVV^*A^*)...