14. 设 $A,B\in M_n$, 则对 $M_n$ 上的任何酉不变范数有 $$\bex \frac{1}{2}\sen{\sex{\ba{cc} A+B&0\\ 0&A+B \ea}}\leq \sen{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}} \leq \sen{\sex{\ba{cc} |A|+|B|&0\\ 0&0 \ea}}. \eex$$
证明: (1). 由 $$\bex \sex{\ba{cc} 0&I\\ I&0 \ea}\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea} \sex{\ba{cc} 0&I\\ I&0 \ea}=\sex{\ba{cc} B&0\\ 0&A \ea} \eex$$ 知 $$\beex \bea \sen{\sex{\ba{cc} A+B&0\\ 0&A+B \ea}} &\leq \sen{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}} +\sen{\sex{\ba{cc} B&0\\ 0&A \ea}}\\ &=\sen{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}} +\sen{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}}\\ &=2\sen{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}}. \eea \eeex$$ (2). 仅须在 $A,B$ 正定的情形证明第二个不等号. 事实上, 对一般的 $A,B$, 存在酉阵 $U,V$, 正定阵 $P,Q$, 使得 $$\bex A=UP,\quad B=VQ, \eex$$ 而 $$\beex \bea \sen{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}} &=\sen{ \sex{\ba{cc} U&0\\ 0&V \ea} \sex{\ba{cc} P&0\\ 0&Q \ea}}\\ &=\sen{\sex{\ba{cc} P&0\\ 0&Q \ea}}\\ &\leq \sen{\sex{\ba{cc} P+Q&0\\ 0&0 \ea}}\\ &=\sen{\sex{\ba{cc} |A|+|B|&0\\ 0&0 \ea}}. \eea \eeex$$ (3). 当 $A,B$ 正定时, $$\beex \bea \sen{\sex{\ba{cc} A+B&0\\ 0&0 \ea}} &=\sen{ \sex{\ba{cc} A^{1/2}&B^{1/2}\\ 0&0 \ea} \sex{\ba{cc} A^{1/2}&0\\ B^{1/2}&0 \ea} }\\ &=\sen{ \sex{\ba{cc} A^{1/2}&0\\ B^{1/2}&0 \ea} \sex{\ba{cc} A^{1/2}&B^{1/2}\\ 0&0 \ea} }\\ &\quad\sex{ T^*T, TT^*\mbox{ 正定, 有相同的特征值}}\\ &=\sen{\sex{\ba{cc} A&A^{1/2}B^{1/2}\\ B^{1/2}A^{1/2}&B \ea}}\\ &\geq \sen{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}}, \eea \eeex$$ 其中最后一步的理由如下. 记 $$\bex C=\sex{\ba{cc} A&A^{1/2}B^{1/2}\\ B^{1/2}A^{1/2}&B \ea},\quad D=\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea},\quad U=\sex{\ba{cc} I&0\\ 0&-I \ea}, \eex$$ 则 $$\beex \bea D&=\frac{1}{2}(C+UCU^*),\\ \sen{D}&\leq \frac{1}{2} \sen{C} +\frac{1}{2}\sen{UCU^*} =\sen{C}. \eea \eeex$$
