6. 设 $A,B\in M_n$, $A$ 是正定矩阵, $B$ 是 Hermite 矩阵. 则 $$\bex A+B\mbox{ 正定当且仅当 }\lm_j(A^{-1}B)>-1,\quad j=1,\cdots,n. \eex$$
证明: $$\beex \bea &\quad A+B\mbox{ 正定}\\ &\lra E+A^{-1/2}BA^{-1/2}\mbox{ 正定}\\ &\lra \lm_j(A^{-1/2}BA^{-1/2})>-1,\quad \forall\ j=1,\cdots,n\\ &\lra \lm_j(A^{-1}B)>-1,\quad j=1,\cdots,n, \eea \eeex$$ 最后一步是因为 $AB$ 与 $BA$ 的特征值相同.
