2. (Thompson). 设 $A,B\in M_n$, 则存在酉矩阵 $U, V\in M_n$ 满足 $$\bex |A+B|\leq U|A|U^*+V|B|V^*. \eex$$
证明: (1). 仅须在 $C\equiv A+B$ 正定的情形下证明结论成立. 事实上, 对一般的 $C$, 由极分解, 存在酉阵 $W$, 半正定阵 $P$, 使得 $$\bex C=WP\ra P=W^*(A+B). \eex$$ 而 $$\beex \bea |A+B|&=|C|\\ &=P\\ &\leq U|W^*A|U^* +V|W^*B|V^*\\ &=U|A|U^*+V|B|V^*. \eea \eeex$$ (2). 当 $C$ 半正定时, $$\beex \bea |A+B|&=C=\Re C\\ &=\Re A+\Re B\\ &\leq U|A|U^*+ V|B|V^*\quad\sex{\mbox{由第 1 题, }s(A)=\lm(|A|),\mbox{ 及 (3)}}. \eea \eeex$$ (3). 一个结论: 设 $X,Y$ 为 $n$ 阶 Hermite 阵, 其特征值满足 $$\bex \lm_j(X)\leq \lm_j(Y),\quad j=1,\cdots,n. \eex$$ 则存在酉阵 $U$, 使得 $$\bex X\leq UYU^*. \eex$$ 事实上, 存在酉阵 $U_1,U_2$, 使得 $$\bex U_1XU_1^* =\diag(\lm_1(X),\cdots,\lm_n(X)) \leq\diag(\lm_1(Y),\cdots,\lm_n(Y)) =U_2YU_2^*. \eex$$ 取 $U=U_1^*U_2$,则 $$\bex X\leq UYU^*. \eex$$
