9. 设 $\sen{\cdot}$ 是 $M_n$ 上的酉不变范数, 则 $\sen{\cdot}$ 是次可乘当且仅当 $$\bex \sen{\diag(1,0,\cdots,0)}\geq 1. \eex$$
证明: $\ra$: 若 $\sen{\cdot}$ 次可乘, 则 $$\beex \bea \sen{\diag(1,0,\cdots,0)} &=\sen{\diag(1,0,\cdots,0)\cdot \diag(1,0,\cdots,0)}\\ &\leq \sen{\diag(1,0,\cdots,0)}\cdot \sen{\diag(1,0,\cdots,0)}. \eea \eeex$$ 由 $$\bex \diag(1,0,\cdots,0)\neq 0\ra \sen{\diag(1,0,\cdots,0)}>0 \eex$$ 即知 $$\bex 1\leq \sen{\diag(1,0,\cdots,0)}. \eex$$ $\la$: 由第 11 题知 $$\bex \sen{ABC}\leq \sen{A}_\infty\sen{C}_\infty\sen{B},\quad\forall\ A,B,C\in M_n. \eex$$ 取 $C=I$ 有 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{A}_\infty\sen{B},\quad \forall\ A,B\in M_n. \eex$$ 为证 $\sen{\cdot}$ 是次可乘的, 仅须验证 $$\bee\label{4_9_inf} \sen{A}_\infty\leq \sen{A},\quad \forall\ A\in M_n. \eee$$而 \eqref{4_9_inf} 可验证如下. 对 $A\in M_n$, 由奇异值分解, 存在酉阵 $U,V$ 使得 $$\bex UAV=\diag(s_1,\cdots,s_n). \eex$$ 于是 $$\beex \bea \sen{A}_\infty &=s_1\quad\sex{\mbox{可参考第 1 章第 13 题的证明}}\\ &\leq \sen{s_1\diag(1,0,\cdots,0)}\\ &\leq \sen{\diag(s_1,\cdots,s_n)}\quad\sex{ \sex{s_1,0,\cdots,0}\prec \sex{s_1,\cdots,s_n},\mbox{ 由 Fan 支配原理} }\\ &=\sen{A}. \eea \eeex$$
