12. 设 $p,q$ 为正实数, 满足 $\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$, 则对 $A,B\in M_n$ 和酉不变范数有 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{|A|^p}^\frac{1}{p} \sen{|B|^q}^\frac{1}{q}. \eex$$
证明: 由推论 4.7, $$\bex s(AB)\prec_ws(A)\circ s(B). \eex$$ 又由定理 4.20, 对任一对称规度函数 $\varphi$, $$\beex \bea \varphi(s(AB)) &\leq \varphi(s(A)\circ s(B))\\ &\leq \sez{ \varphi(s(A)^p)}^\frac{1}{p} \sez{\varphi(s(B)^q)}^\frac{1}{q}\quad\sex{\mbox{第 8 题}}\\ &=\sez{ \varphi(s(|A|^p))}^\frac{1}{p} \sez{\varphi(s(|B|^q))}^\frac{1}{q}. \eea \eeex$$ 特别取 $\varphi$ 为 Fan $k$-范数, 我们可由 Fan 支配定理得到 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{|A|^p}^\frac{1}{p} \sen{|B|^q}^\frac{1}{q}. \eex$$
