8. 设 $p,q$ 为正实数, 满足 $\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$, 设 $x,y\in \bbR^n_+$, 则对 $\bbR^n$ 上的任何对称规度函数 $\varphi$ 有 $$\bex \varphi(x\circ y)\leq [\varphi(x^p)]^\frac{1}{p} [\varphi(y^q)]^\frac{1}{q}, \eex$$ 其中 $x^p$ 表示将 $x$ 的每个分量取 $p$ 次方所得的向量.
证明: 不妨设 $$\bex \varphi(x^p)>0,\quad \varphi(y^q)>0. \eex$$ 由 H\"older 不等式, $$\bex x_iy_i\leq \frac{1}{p}x_i^p+\frac{1}{q}y_i^q, \eex$$ 而 $$\bex x\circ y\leq \frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}y^q. \eex$$ 用 $\varphi$ 作用后, $$\beex \bea \varphi(x\circ y)&\leq \varphi\sex{\frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}y^q}\\ &\leq \frac{1}{p}\varphi(x^p) +\frac{1}{q}\varphi(y^q). \eea \eeex$$ 上式中用 $tx$ 代替 $x$, 用 $\dps{\frac{1}{t}y}$ 代替 $y$ 后有 $$\bee\label{4_8_eq} \varphi(x\circ y)\leq \frac{t^p}{p}\varphi(x^p) +\frac{1}{qt^q}\varphi(y^q),\quad t>0. \eee$$记 $$\bex f(t)=\frac{t^p}{p}a+\frac{1}{qt^q}b, \eex$$ 则通过求导知当 $$\bex t=\sex{\frac{b}{a}}^\frac{1}{pq} \eex$$ 时, $f(t)$ 取得最小值 $$\bex a^\frac{1}{p}b^\frac{1}{q}. \eex$$ 于是由 \eqref{4_8_eq} 知 $$\bex \varphi(x\circ y)\leq [\varphi(x^p)]^\frac{1}{p} [\varphi(y^q)]^\frac{1}{q}. \eex$$
