15. 设 $S_n[a,b]$ 表示所有元素属于给定的区间 $[a,b]$ 的 $n$ 阶实对称矩阵的集合. 对于 $j=1,n$ 确定 $$\bex \max\sed{\lm_j(A);\ A\in S_n[a,b]}\mbox{ 和 } \min\sed{\lm_j(A);\ A\in S_n[a,b]}, \eex$$ 以及分别取到最大值和最小值的矩阵.
解答: 对 $0\neq x\in\bbR^n$, $$\beex \bea &\quad x^TAx\\ &=x^TP^T (PAP^T)Px\\ &\quad\sex{P \mbox{ 为置换阵, 使得 }Px \mbox{ 的前 }k\mbox{ 个分量 }\geq 0,\mbox{ 后 }k \mbox{ 个分量 }<0;\atop\mbox{ 且不妨设 }k>0, \mbox{ 否则用 }-x\mbox{ 代替 }x}\\ &=y^TBy\quad\sex{B=PAP^T\mbox{ 的元素是 }A \mbox{ 的元素的重排}, y=Px}\\ &=\sum_{i,j=1}^n b_{ij}y_iy_j\\ &=\sum_{i,j=1}^k b_{ij}y_iy_j +2\sum_{i=1}^k\sum_{j=k+1}^n b_{ij}y_iy_j +\sum_{i,j=k+1}^n b_{ij}y_iy_j\\ &\geq a\sum_{i,j=1}^k y_iy_j +2b\sum_{i=1}^k\sum_{j=k+1}^n y_iy_j +a\sum_{i,j=k+1}^n y_i y_j\\ &=y^TJy\\ &\quad \sex{J=\sex{\ba{cc} aJ_k&bJ_{k,n-k}\\ bJ_{n-k,k}&aJ_{n-k} \ea}, J_{r,s}\mbox{ 为各元素为 }1\mbox{ 的 }r\times s\mbox{ 阶矩阵}, J_r=J_{r,r}}. \eea \eeex$$ 因此, $$\beex \bea \lm_n(A)&=\min_{\sen{x}=1}x^TAx\\ &=\min_{\sen{y}=1} y^*Jy\\ &=\lm_n(J). \eea \eeex$$ 往求 $J$ 的最小特征值 $\lm_n(J)$. 显然, $J$ 可通过初等行变换化为 $$\bex \sex{\ba{cccccc} a&\cdots&a&b&\cdots&b\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0\\ b&\cdots&b&a&\cdots&a \ea}, \eex$$ 其秩 $\leq 2$, 将 $J$ 通过正交阵化为对角型后即知 $J$ 最多只有 $2$ 个不为零的特征值, 记为 $\mu_1$, $\mu_2$, 则通过比较迹, Frobenius 范数 (酉不变, 而正交不变), 有 $$\bex c\equiv na=\mu_1+\mu_2, \eex$$ $$\bex d\equiv k^2a^2 +2k(n-k)b^2 +(n-k)^2a^2 =\mu_1^2+\mu_2^2. \eex$$ 而 $\mu_1,\mu_2$ 为二次方程 $$\bex t^2-ct+\frac{c^2-d}{2}=0 \eex$$ 的解. 于是 $$\beex \bea \lm_n(J) &=\frac{c-\sqrt{c^2-4\frac{c^2-d}{2}}}{2}\\ &=\frac{1}{2}\sez{ na-\sqrt{ (n-2k)^2a^2+4k(n-k)b^2 } }\\ &=\frac{1}{2} \sez{na- \sqrt{ 4(a^2-b^2)k^2-4(a^2-b^2)nk+n^2a^2 } }. \eea \eeex$$ 因此, 当 $|a|<b$ 时, 如果 $n$ 为偶数, 则当且仅当 $\dps{k=\frac{n}{2}}$ 时, $\lm_n(J)$ 达到最小, 为 $$\bex \frac{n(a-b)}{2}; \eex$$ 当 $n$ 为奇数时, 则当且仅当 $\dps{k=\frac{n-1}{2}}$ 或 $\dps{k=\frac{n+1}{2}}$ 时, $\lm_n(J)$ 达到最小, 为 $$\bex \frac{1}{2}\sez{na-\sqrt{a^2+(n^2-1)b^2}}. \eex$$ 当 $|a|=b$ 时, $a<0$, 对 $\forall\ 1\leq k\leq n$, 都有 $$\bex \lm_n(J)=na. \eex$$ 当 $|a|>b$ 时, $a<0$, 当且仅当 $k=n$ 时, $\lm_n(J)$ 达到最小, 为 $$\bex na. \eex$$ 综上讨论, 我们总结如下:
(1). 当 $|a|<b$ 时, 如果 $n$ 为偶数, 则当且仅当 $A$ 与 $$\bex \sex{\ba{cc} aJ_\frac{n}{2}&bJ_\frac{n}{2}\\ bJ_\frac{n}{2}&aJ_\frac{n}{2} \ea} \eex$$ 置换相似时, $\lm_n(A)$ 达到最小, 为 $$\bex \frac{n(a-b)}{2}; \eex$$ 如果 $n$ 为奇数, 则当且仅当 $A$ 与 $$\bex \sex{\ba{cc} aJ_\frac{n-1}{2}&bJ_{\frac{n-1}{2},\frac{n+1}{2}}\\ bJ_{\frac{n+1}{2},\frac{n-1}{2}}&aJ_\frac{n+1}{2} \ea} \eex$$ 置换相似时, $\lm_n(A)$ 达到最小, 为 $$\bex \frac{1}{2}\sez{ na-\sqrt{ a^2+(n^2-1)b^2 } }; \eex$$
(2). 当 $|a|=b$ 时, 当且仅当存在某个 $1\leq k\leq n$, $A$ 与 $$\bex \sex{\ba{cc} aJ_k&bJ_{k,n-k}\\ bJ_{n-k,k}&aJ_{n-k} \ea} \eex$$ 置换相似时, $\lm_n(A)$ 达到最小, 为 $$\bex na. \eex$$
(3). 当 $|a|>b$ 时, 当且仅当 $A=aJ_n$ 时, $\lm_n(A)$ 达到最小, 为 $$\bex na. \eex$$ 最后, $$\bex \max\sed{\lm_1(A); A\in S_n[a,b]}, \eex$$ $$\bex \min\sed{\lm_1(A); A\in S_n[a,b]}, \eex$$ $$\bex \max\sed{\lm_n(A); A\in S_n[a,b]} \eex$$ 均可类似讨论而得到相应的结论.
