14. 用 Hadamard 不等式 (3.5) 证明下面的不等式 (也称为 Hadamard 不等式): 设 $A=(a_1,\cdots,a_n)\in M_n$, 则 $$\bex |\det A|\leq \prod_{i=1}^n \sen{a_i}, \eex$$ 其中 $\sen{\cdot}$ 表示列向量的欧氏范数.
证明: 既然 $$\bex A^*A=\sex{\ba{ccc} a_1^*\\ \vdots\\ a_n^* \ea}\sex{\ba{ccc} a_1&\cdots&a_n \ea}=\sex{\ba{ccc} a_1^*a_1&&*\\ &\ddots&\\ *&&a_n^*a_n \ea} \eex$$ 为半正定矩阵, 我们可用 Hadamard 不等式 (3.5) 得到 $$\beex \bea |\det(A)|^2 &=\overline{\det A}\cdot \det A\\ &=\det A^*\cdot\det A\\ &=\det(A^*A)\\ &\leq \prod_{i=1}^n a_i^*a_i\\ &=\prod_{i=1}^n \sen{a_i}^2. \eea \eeex$$
