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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.5

2014-11-05 550

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简介： 5. 设 $A,B\in M_n$, 则 $$\bex s_j(AB)\leq \sen{A}_\infty s_j(B),\quad s_j(AB)\leq \sen{B}_\infty s_j(A),\quad j=1,\cdots,n.

5. 设 $A,B\in M_n$, 则 $$\bex s_j(AB)\leq \sen{A}_\infty s_j(B),\quad s_j(AB)\leq \sen{B}_\infty s_j(A),\quad j=1,\cdots,n. \eex$$

证明: 由定理 4.3 (Ky Fan), $$\bex s_j(AB)\leq s_1(A)s_j(B)=\sen{A}_\infty s_j(B), \eex$$ $$\bex s_j(BA)=s_j(BA)\leq s_1(B)s_j(A)=\sen{B}_\infty s_j(A). \eex$$

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.10

10. 非本原指标为 $k$ 的 $n$ 阶不可约非负矩阵的正元素的个数可能是哪些数呢? 解答: 只需利用定理 6.28 (Frobenius), 探讨 $$\bex f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n x_ix_{i+1} \eex$$ 在条件 $$\bex x_i>0,\quad\sum_{i=1}^n x_i=n \eex$$ 下的最小最大值.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.2

2. 设 $A$ 是个非负方阵且存在一个正整数 $p$ 使得 $A^p>0$, 则对所有正整数 $q\geq p$, $A^q>0$. 证明: 不妨设 $n\geq 2$. 由定理 6.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.1

1. 怎样的非负矩阵可逆并且其逆也非负? 解答: 设 $A\geq0$ 可逆, 且其逆 $A^{-1}=B\geq 0$. 则 $$\bex I_n=AB=BA. \eex$$ 对 $A$ 的第 $i$ ($1\leq i\leq n$) 列, 由 $A$ 可逆知 $$\bex \exists\ j,\st a_{ij}>0.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.7

7. 设 $A$ 是个非负幂零矩阵, 即存在正整数 $p$ 使得 $A^p=0$. 则 $A$ 置换相似于一个上三角矩阵. 证明: 由 $A^p=0$ 知 $\sigma(A)=0$, 而 $\rho(A)=0$.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.1

1. $A\in M_n$ 称为正交投影矩阵如果 $A$ 是 Hermite 矩阵且幂等: $$\bex A^*=A=A^2. \eex$$ 证明: 若 $A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 则 $\sen{A-B}_\infty \leq 1$.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.3

3. (Bhatia-Davis) 设 $A,B\in M_n$ 为酉矩阵, 则 $$\bex \rd(\sigma(A),\sigma(B))\leq \sen{A-B}_\infty. \eex$$ 证明: [见 R.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.8

8. 设 $p,q$ 为正实数, 满足 $\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$, 设 $x,y\in \bbR^n_+$, 则对 $\bbR^n$ 上的任何对称规度函数 $\varphi$ 有 $$\bex \varphi(x\circ y)\leq [\varphi(x...

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.3

3. $G\in M_n$ 称为一个秩 $k$ 部分等距矩阵, 若 $$\bex s_1(G)=\cdots=s_k(G)=1,\quad s_{k+1}(G)=\cdots=s_n(G)=0. \eex$$ 证明对 $X\in M_n$, $$\bex \sum_{j=1}^k s_j(X) =\...

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.2

2. 设 $A\in M_n$, $B\in M_{r,t}$ 是 $A$ 的一个子矩阵. 则它们的奇异值满足 $$\bex s_j(B)\leq s_j(A),\quad j=1,\cdots,\min\sed{r,t}.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.4

4. 设 $x,y,u\in\bbR^n$ 的分量都是递减的. 证明: (1). 若 $x\prec y$ 则 $\sef{x,u}\leq \sef{y,u}$. (2). 若 $x\prec_w y$ 且 $u\in\bbR^n_+$, 则 $\sef{x,u}\leq \sef{y,u}$.

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