11. (Ky Fan) 对于 A∈Mn, 记 ℜA=(A+A∗)/2. 证明: \bexℜ\lm(A)≺\lm(ℜA),\eex
其中 \lm(A) 表示 A 的特征值作成的向量, ℜ\lm(A) 表取 A 的特征值的实部所得向量.
证明:
(1). 先证明对 Hermite 阵 H, 若它的特征值为 \bex\lm1≥⋯≥\lmn,\eex
则 \bexk∑i=1\lmi=max\senxi=1i=1,⋯,kk∑i=1\sefHxi,xi.\eex
事实上, 由 H 为 Hermite 阵知存在酉阵 U, 使得 \bexU∗HU=\diag(\lm1,⋯,\lmn).\eex
若记 U=(u1,⋯,un), 则 \bexk∑i=1\sefHui,ui=k∑i=1\lmi.\eex
另一方面, 对任一适合 \senxi=1 的向量组 x1,⋯,xk, 可设 \bexxi=n∑j=1aijuj,n∑j=1|aij|2=1,\eex
而 \beex \bea Ax_i&=\sum_{j=1}^n a_{ij}\lm_ju_j,\\ \sef{Ax_i,x_i}&=\sef{ \sum_{j=1}^n a_{ij}\lm_ju_j,\sum_{l=1}^n a_{il}u_l}\\ &=\sum_{j,l=1}^n a_{ij}\bar a_{il}\lm_j\sef{u_j,u_l}\\ &=\sum_{j=1}^n a_{ij}\bar a_{ij} \lm_j\\ &=\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2 \lm_j\\ &=\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2 \lm_k +\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2 (\lm_j-\lm_k)\\ &=\lm_k +\sum_{j=1}^k |a_{ij}|^2 (\lm_j-\lm_k) +\sum_{j=k+1}^n |a_{ij}|^2 (\lm_j-\lm_k)\\ &\leq \lm_k +\sum_{j=1}^k |a_{ij}|^2 (\lm_j-\lm_k),\\ \sum_{i=1}^k \sef{Ax_i,x_i} &\leq k\lm_k +\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k |a_{ij}|^2(\lm_j-\lm_k)\\ &\leq k\lm_k+\sum_{j=1}^k (\lm_j-\lm_k)\sum_{i=1}^k |a_{ij}|^2\\ &\leq k\lm_k+\sum_{j=1}^k (\lm_j-\lm_k)\\ &=\sum_{j=1}^k \lm_j. \eea \eeex
(2). 再证题目. 由 A∈Mn 及 Schur 酉三角化定理, 存在酉阵 V 使得 \bex V^*AV=\sex{\ba{ccc} \lm_1(A)&&*\\ &\ddots&\\ &&\lm_n(A) \ea}. \eex
记 V=(v1,⋯,vn), 则 \bex\sefAvi,vi=\lmi(A).\eex
于是对 1≤k≤n, \beex \bea \sum_{i=1}^k \Re \lm_i(A) &=\sum_{i=1}^k \frac{\lm_i(A)+\overline{\lm_i(A)}}{2}\\ &=\sum_{i=1}^k \frac{1}{2}\sef{Av_i,v_i} +\frac{1}{2} \overline{\sef{Av_i,v_i}}\\ &=\sum_{i=1}^k \frac{1}{2}\sef{Av_i,v_i} +\frac{1}{2}\sef{A^*v_i,v_i}\quad\sex{\overline{\sef{Av_i,v_i}} =\sef{v_i,Av_i}=\sef{A^*v_i,v_i}}\\ &=\sum_{i=1}^k \sef{\frac{A+A^*}{2}v_i,v_i}\\ &=\sum_{i=1}^k \sef{\Re A v_i,v_i}\\ &\leq \sum_{i=1}^k \lm_i(\Re A)\quad\sex{\mbox{由 (1)}}. \eea \eeex