16. (Fan-Hoffman) 设 $A\in M_n$, $A=UP$ 为极分解, $U$ 为酉矩阵, $P$ 为半正定矩阵. 若 $W\in M_n$ 为酉矩阵, 则 $$\bex \sen{A-U}\leq \sen{A-W}\leq \sen{A+U} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.
证明: (1). 仅须证明: 对正定阵 $P$, 酉阵 $V$, 不等式 $$\bee\label{4_16_ineq} \sen{P-I}\leq \sen{P-V}\leq \sen{P+I} \eee$$对任何酉不变范数成立. 事实上, 若 \eqref{4_16_ineq} 成立, 则 \eqref{4_16_ineq} 对任何半正定阵 $P$ 也成立, 而 $$\beex \bea \sen{A-U}&=\sen{UP-U}\\ &=\sen{P-I}\\ &\leq \sen{P-U^*W}=\sen{A-W}\\ &\leq \sen{P+I}=\sen{A+U}. \eea \eeex$$ (2). 往证 \eqref{4_16_ineq}. 由 Fan 支配原理, 仅须验证 $$\bee\label{4_16_sing} s(A)\prec_ws(B)\prec_ws(C), \eee$$其中 $$\bex A=P-I,\quad B=P-V,\quad C=P+I. \eex$$ \eqref{4_16_sing} 的第二个不等号立马可得到. 事实上, $$\beex \bea \sum_{i=1}^k s_i(B) &=\sum_{i=1}^k s_i(P+(-V))\\ &\leq \sum_{i=1}^k \sez{s_i(P)+s_i(-V)}\quad\sex{\mbox{定理 4.9}}\\ &=\sum_{i=1}^k [\lm_i(P)+1]\quad\sex{\lm_i(P)\mbox{ 为 }P\mbox{ 的特征值}}\\ &=\sum_{i=1}^k \lm_i(P+I)\\ &=\sum_{i=1}^k s_i(P+I) =\sum_{i=1}^k s_i(C),\quad 1\leq k\leq n. \eea \eeex$$ 往证 \eqref{4_16_sing} 的第一个不等号. 注意到 $A$ 的特征值为 (记 $\lm_i=\lm_i(P)$ 适合 $\lm_1\geq \cdots\geq \lm_n$) $$\bex \lm_1-1,\quad \cdots,\lm_n-1, \eex$$ 我们有其 $A$ 的奇异值中前 $k$ 大之和为 $$\bex \max_{i_1<\cdots<i_k}\sum_{j=1}^k |\lm_{i_j}-1|. \eex$$ 设 $B$ 的奇异值为 $s_1,\cdots,s_n$, 则仅须证明 $$\bee\label{4_16_com} \max_{i_1<\cdots<i_k}\sum_{j=1}^k |\lm_{i_j}-1|\leq \sum_{j=1}^k s_j. \eee$$ (3). 往证 \eqref{4_16_com}. 为此, 我们写下 J. von Neumann 的一个定理 (见 [J. von Neumann, Some matrix-inequalities and metrization of matrix-space, Tomsk Univ. Rev. vol. 1 (1937) pp. 286--300]): 设 $X,Y,Z$ 是 $n$ 阶 Hermite 阵, 它们各自有特征值 $$\bex x_1\geq\cdots\geq x_n;\quad y_1\geq \cdots\geq y_n;\quad z_1\geq \cdots\geq z_n. \eex$$ 如果 $X-Y=Z$, 则 $$\bex \max_{j_1<\cdots<j_k}\sum_{i=1}^k (x_{j_i}-y_{j_i})\leq \sum_{i=1}^k z_i,\quad 1\leq k\leq n. \eex$$ 记 $$\bex \tilde B=\sex{\ba{cc} 0&B^*\\ B&0\ea},\mbox{ 等等}, \eex$$ 则据引理 4.8, $\tilde B$, $\tilde P$, $\tilde V$ 的特征值分别为 $$\beex \bea s_1\geq \cdots\geq s_n\geq -s_n\geq \cdots\geq -s_1;\\ \lm_1\geq \cdots\geq \lm_n\geq -\lm_n\geq \cdots \geq -\lm_1;\\ 1\geq \cdots\geq 1\geq -1\geq \cdots\geq-1. \eea \eeex$$ 这里, $|V|=(V^*V)^\frac{1}{2}=I$, 而 $s(V)=(1,\cdots,1)$. 由 $\tilde B=\tilde P-\tilde V$ 及 Neumann 的定理, 对 $j_1<\cdots<j_k$, $1\leq i\leq k$, 若 $\lm_{j_i}\geq 1$, 则选 $j_i'=j_i$; 否则, 选 $j_i'=j_{2n+1-i}$, 如此, $$\beex \bea \sum_{i=1}^k s_i &\geq \sum_{j_1',\cdots,j_k'} \sez{ s_{j_i'}(P)-s_{j_i'}(V) }\\ &=\sum_{j_1<\cdots<j_k}|\lm_{j_i}-1|. \eea \eeex$$
