[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.1

1. 设 $A\in M_n$. 证明若 $AA^*=A^2$, 则 $A^*=A$.

证明: 由 Schur 酉三角化定理, 存在酉阵 $U$, 使得 $$\bex A=U^*BU, \eex$$ 其中 $B=(b_{ij})$ 为上三角阵. 于是 $$\bex U^*BB^*U=AA^*=A^2=U^*B^2U\ra BB^*=B^2. \eex$$ 比较两端的对角元有 $$\bex |b_{ii}|^2 +\cdots +|b_{in}|^2=b_{ii}^2,\quad 1\leq i\leq n. \eex$$ 而 $b_{ii}^2$ 为非负实数, $$\bex b_{ii}^2=|b_{ii}|^2 +\cdots +|b_{in}|^2\geq |b_{ii}|^2 =|b_{ii}^2|=b_{ii}^2. \eex$$ 故 $$\bex b_{ij}=0,\quad i<j,\quad b_{ii}=\pm\sqrt{b_{ii}^2}\in\bbR. \eex$$ 因此, $$\bex A=U^*\diag(b_{11},\cdots,b_{nn})U,\quad b_{ii}\in\bbR. \eex$$ 这即说明 $A^*=A$.