4. 设 $A=(a_{ij})\in M_n$, 则 $$\bex \sex{|a_{11}|,\cdots,|a_{nn}|}\prec_ws(A). \eex$$
证明: 一般我们都用 Fan 支配原理的顺推情形: $$\bex s(A)\prec s(B)\lra \mbox{ 对任意酉不变范数 }\sen{\cdot},\ \sen{A}\leq \sen{B}. \eex$$ 而这里我们却要用逆推情形. 由此可见 Fan 的伟大. 记 $$\bex \omega=e^{\frac{2\pi i}{n}},\quad i=\sqrt{-1},\quad U=\diag(1,\omega,\omega^2,\cdots,\omega^{n-1}), \eex$$ 则 $U$ 为酉阵, 且 $$\bee\label{4_4_diag} \diag(a_{11},\cdots,a_{nn})=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} U^kAU^{*k}. \eee$$\eqref{4_4_diag} 可通过比较矩阵的各元素得到. 事实上, \eqref{4_4_diag} 右端矩阵的 $(i,j)$ 元素为 $$\beex \bea \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{ik} a_{ij}\bar \omega^{jk} &=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n \omega^{ik}\bar \omega^{jk}a_{ij}\\ &=\sedd{\ba{ll} a_{ii},&i=j\\ \cfrac{1}{n}\dps{\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{(i-j)k} a_{ij}} =\cfrac{1}{n}\cdot\cfrac{1-\omega^{(i-j)n}}{1-\omega^{i-j}}a_{ij}=0,&i\neq j \ea}\\ &=a_{ij}\delta_{ij}. \eea \eeex$$ 由 \eqref{4_4_diag} 即知对任一酉不变范数 $\sen{\cdot}$, $$\bex \sen{\diag(a_{11},\cdots,a_{nn})} \leq \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \sen{U^kAU^{*k}}=\sen{A}. \eex$$ 据 Fan 支配原理, $$\bex \sex{|a_{11}|,\cdots,|a_{nn}|}\prec_ws(A). \eex$$
