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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.15

2014-11-05 603

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简介： 15. (Fan-Hoffman) 设 $A,H\in M_n$, 其中 $H$ 为 Hermite 矩阵, 则 $$\bex \sen{A-\Re A}\leq \sen{A-H} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.

15. (Fan-Hoffman) 设 $A,H\in M_n$, 其中 $H$ 为 Hermite 矩阵, 则 $$\bex \sen{A-\Re A}\leq \sen{A-H} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.

证明: (1). 先证明 $$\bex \sen{\cdot} \mbox{ 是酉不变范数}, X\in M_n\ra \sen{X}=\sen{X^*}. \eex$$ 事实上, $X$ 与 $X^*$ 有相同的奇异值, 而 $$\bex s(X)\prec s(X^*)\prec s(X). \eex$$ 由 Fan 支配原理, $$\bex \sen{X}\leq \sen{X^*}\leq \sen{X}. \eex$$ (2). 往证题目. 由 $$\beex \bea A-\Re A&=A-\frac{A+A^*}{2}\\ &=\frac{A-A^*}{2}\\ &=\frac{1}{2}(A-H) +\frac{1}{2}(H-A^*) \eea \eeex$$ 知 $$\beex \bea \sen{A-\Re A} &\leq \frac{1}{2}\sen{A-H} +\frac{1}{2}\sen{H-A^*}\\ &=\frac{1}{2}\sen{A-H} +\frac{1}{2}\sen{A^*-H}\\ &=\sen{A-H}\quad\sex{\mbox{由 (1)}}. \eea \eeex$$

张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.15

15. (Hu-Li-Zhan) 秩为 $k$ 的 $n$ 阶对称 $0-1$ 矩阵中 $1$ 的个数可能是哪些数呢? 解答: 见 [Q. Hu, Y.Q. Li, X.Z. Zhan, Possible numbers of ones in $0-1$ matrices wit...

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.1

1. 怎样的非负矩阵可逆并且其逆也非负? 解答: 设 $A\geq0$ 可逆, 且其逆 $A^{-1}=B\geq 0$. 则 $$\bex I_n=AB=BA. \eex$$ 对 $A$ 的第 $i$ ($1\leq i\leq n$) 列, 由 $A$ 可逆知 $$\bex \exists\ j,\st a_{ij}>0.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.6

6. 设 $A$ 是个非负本原方阵, 则 $$\bex \vlm{k} [\rho(A)^{-1}A]^k =xy^T, \eex$$ 其中 $x$ 和 $y$ 分别是 $A$ 和 $A^T$ 的 Perron 根, 满足 $xy^T=1$.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.2

2. 用 $\im A$ 表示 $A\in M_n$ 的像空间: $$\bex \im A=\sed{Ax;x\in\bbC^n}. \eex$$ 设 $A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 满足 $$\bex \sen{A-B}_\infty

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.11

11. $M_n$ 上的范数 $\sen{\cdot}$ 称为是对称的, 若 $$\bex \sen{ABC}\leq \sen{A}_\infty\sen{C}_\infty \sen{B},\quad \forall\ A,B,C\in M_n.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.9

9. 设 $\sen{\cdot}$ 是 $M_n$ 上的酉不变范数, 则 $\sen{\cdot}$ 是次可乘当且仅当 $$\bex \sen{\diag(1,0,\cdots,0)}\geq 1. \eex$$ 证明: $\ra$: 若 $\sen{\cdot}$ 次可乘, ...

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.13

13. (Bhatia-Davis) 设 $A,B,X\in M_n$, 则 $$\bex \sen{AXB^*}\leq \frac{1}{2}\sen{A^*AX+XB^*B} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.2

2. (Thompson). 设 $A,B\in M_n$, 则存在酉矩阵 $U, V\in M_n$ 满足 $$\bex |A+B|\leq U|A|U^*+V|B|V^*. \eex$$ 证明: (1).

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.7

7. 设 $A\in M_n$ 正定, $1\leq k\leq n$. 则 $$\bex \prod_{j=1}^n \lm_j(A)=\max_{U^*U=I_k} \det U^*AU,\quad \prod_{j=1}^n \lm_{n-j+1}(A)=\min_{U^*U=I_k} \det U^*AU, \eex$$ 其中 $U\in M_{n,k}$.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.12

12. (Webster) 设 $A=(a_{ij})$ 是有 $k$ 个正元素的 $n$ 阶双随机矩阵. 证明, 存在 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列 $\sigma$ 使得 $$\bex \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_{i\sigma(i)}}\leq k.

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