15. (Fan-Hoffman) 设 $A,H\in M_n$, 其中 $H$ 为 Hermite 矩阵, 则 $$\bex \sen{A-\Re A}\leq \sen{A-H} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.
证明: (1). 先证明 $$\bex \sen{\cdot} \mbox{ 是酉不变范数}, X\in M_n\ra \sen{X}=\sen{X^*}. \eex$$ 事实上, $X$ 与 $X^*$ 有相同的奇异值, 而 $$\bex s(X)\prec s(X^*)\prec s(X). \eex$$ 由 Fan 支配原理, $$\bex \sen{X}\leq \sen{X^*}\leq \sen{X}. \eex$$ (2). 往证题目. 由 $$\beex \bea A-\Re A&=A-\frac{A+A^*}{2}\\ &=\frac{A-A^*}{2}\\ &=\frac{1}{2}(A-H) +\frac{1}{2}(H-A^*) \eea \eeex$$ 知 $$\beex \bea \sen{A-\Re A} &\leq \frac{1}{2}\sen{A-H} +\frac{1}{2}\sen{H-A^*}\\ &=\frac{1}{2}\sen{A-H} +\frac{1}{2}\sen{A^*-H}\\ &=\sen{A-H}\quad\sex{\mbox{由 (1)}}. \eea \eeex$$
