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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.6

2014-11-05 578

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简介： 6. 设 $A,B\in M_n$ 半正定, 则 $$\bex s_j(A-B)\leq s_j\sex{ \sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}},\quad j=1,\cdots,n.

6. 设 $A,B\in M_n$ 半正定, 则 $$\bex s_j(A-B)\leq s_j\sex{ \sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}},\quad j=1,\cdots,n. \eex$$

证明: $$\beex \bea s_j(A-B) &=\lm_j\sex{\sex{\ba{cc} A-B&0\\ 0&B-A \ea}}\quad\sex{\mbox{Hermite 矩阵的奇异值为其特征值的模长}}\\ &\leq \lm_j\sex{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}}\quad\sex{\mbox{Weyl 单调性原理}}\\ &\quad\sex{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}-\sex{\ba{cc} A-B&0\\ 0&B-A \ea}=\sex{\ba{cc} B&0\\ 0&A \ea}\geq 0}\\ &=s_j\sex{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}}. \eea \eeex$$

张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.12

12. 设 $A$ 是个 $n$ 阶振荡矩阵, 则 $A^{n-1}$ 是全面正矩阵. 证明: 我相信可以利用定理 6.27 (Wielandt) 或者其证明思路, 但是目前还没有做出来.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.2

2. 证明引理 7.13. 证明: 用反证法. 若对任一置换阵 $P$, $PA$ 的对角元都至少有一个为零, 则 $A$ 的每条对角线至少含有一个零元素. 由 Frobenius-K\"onig 定理, $A$ 有一个 $r\times s$ 阶的零子矩阵, $r+s=n+1$.

张祖锦

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张祖锦

资源调度机器学习/深度学习 Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.5

5. 元素属于 $\sed{0,*}$ 的矩阵称为零模式矩阵. 设 $A$ 是零模式矩阵, 用 $Q_\bbF(A)$ 记元素属于域 $\bbF$ 的具有零模式 $A$ 的矩阵的集合, 即若 $B\in Q_F(A)$, $B=(b_{ij})$, $A=(a_{ij})$, 则 $b_{ij}=0$ 当且仅当 $a_{ij}=0$.

张祖锦

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张祖锦

资源调度 Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.5

5. (Friedland) 给定 $A\in M_n$, $\lm_i\in \bbC$, $i=1,\cdots,n$. 证明: 存在对角矩阵 $D\in M_n$ 使得 $\sigma(A+D)=\sed{\lm_1,\cdots,\lm_n}$, 并且满足上述条件的对角矩阵 $D$ 只有有限多个.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.5

5. 设 $A,B\in M_n$, 则 $$\bex s_j(AB)\leq \sen{A}_\infty s_j(B),\quad s_j(AB)\leq \sen{B}_\infty s_j(A),\quad j=1,\cdots,n.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.11

11. $M_n$ 上的范数 $\sen{\cdot}$ 称为是对称的, 若 $$\bex \sen{ABC}\leq \sen{A}_\infty\sen{C}_\infty \sen{B},\quad \forall\ A,B,C\in M_n.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.13

13. (Bhatia-Davis) 设 $A,B,X\in M_n$, 则 $$\bex \sen{AXB^*}\leq \frac{1}{2}\sen{A^*AX+XB^*B} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.8

8. 设 $p,q$ 为正实数, 满足 $\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$, 设 $x,y\in \bbR^n_+$, 则对 $\bbR^n$ 上的任何对称规度函数 $\varphi$ 有 $$\bex \varphi(x\circ y)\leq [\varphi(x...

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.6

6. 设 $A,B\in M_n$, $A$ 是正定矩阵, $B$ 是 Hermite 矩阵. 则 $$\bex A+B\mbox{ 正定当且仅当 }\lm_j(A^{-1}B)>-1,\quad j=1,\cdots,n.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.14

14. 用 Hadamard 不等式 (3.5) 证明下面的不等式 (也称为 Hadamard 不等式): 设 $A=(a_1,\cdots,a_n)\in M_n$, 则 $$\bex |\det A|\leq \prod_{i=1}^n \sen{a_i}, \eex$$ 其中 $\sen{\cdot}$ 表示列向量的欧氏范数.

张祖锦

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