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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.6

2014-11-05 574

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简介： 6. 设 $A,B\in M_n$ 半正定, 则 $$\bex s_j(A-B)\leq s_j\sex{ \sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}},\quad j=1,\cdots,n.

6. 设 $A,B\in M_n$ 半正定, 则 $$\bex s_j(A-B)\leq s_j\sex{ \sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}},\quad j=1,\cdots,n. \eex$$

证明: $$\beex \bea s_j(A-B) &=\lm_j\sex{\sex{\ba{cc} A-B&0\\ 0&B-A \ea}}\quad\sex{\mbox{Hermite 矩阵的奇异值为其特征值的模长}}\\ &\leq \lm_j\sex{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}}\quad\sex{\mbox{Weyl 单调性原理}}\\ &\quad\sex{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}-\sex{\ba{cc} A-B&0\\ 0&B-A \ea}=\sex{\ba{cc} B&0\\ 0&A \ea}\geq 0}\\ &=s_j\sex{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}}. \eea \eeex$$

张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.6

6. 举例说明: 存在那样的实方阵 $A$, $A$ 的零元素的个数大于 $A$ 的 Jordan 标准形的零元素的个数. 解答: 想法就是利用第 5 节的 Jordan 标准形的组合刻画.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.2

2. 证明引理 7.13. 证明: 用反证法. 若对任一置换阵 $P$, $PA$ 的对角元都至少有一个为零, 则 $A$ 的每条对角线至少含有一个零元素. 由 Frobenius-K\"onig 定理, $A$ 有一个 $r\times s$ 阶的零子矩阵, $r+s=n+1$.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.5

5. 元素属于 $\sed{0,*}$ 的矩阵称为零模式矩阵. 设 $A$ 是零模式矩阵, 用 $Q_\bbF(A)$ 记元素属于域 $\bbF$ 的具有零模式 $A$ 的矩阵的集合, 即若 $B\in Q_F(A)$, $B=(b_{ij})$, $A=(a_{ij})$, 则 $b_{ij}=0$ 当且仅当 $a_{ij}=0$.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.10

10. 非本原指标为 $k$ 的 $n$ 阶不可约非负矩阵的正元素的个数可能是哪些数呢? 解答: 只需利用定理 6.28 (Frobenius), 探讨 $$\bex f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n x_ix_{i+1} \eex$$ 在条件 $$\bex x_i>0,\quad\sum_{i=1}^n x_i=n \eex$$ 下的最小最大值.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.14

14. (Shao) 设非负方阵 $A$ 具有 (6.22) 的形式并且 $A$ 没有零行也没有零列. 证明: $A$ 不可月且非本原指标为 $k$ 当且仅当乘积 $$\bex A_{12}A_{23}\cdots A_{k-1,k}A_{k1} \eex$$ 是本原矩阵.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.1

1. 怎样的非负矩阵可逆并且其逆也非负? 解答: 设 $A\geq0$ 可逆, 且其逆 $A^{-1}=B\geq 0$. 则 $$\bex I_n=AB=BA. \eex$$ 对 $A$ 的第 $i$ ($1\leq i\leq n$) 列, 由 $A$ 可逆知 $$\bex \exists\ j,\st a_{ij}>0.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.6

6. 设 $A$ 是个非负本原方阵, 则 $$\bex \vlm{k} [\rho(A)^{-1}A]^k =xy^T, \eex$$ 其中 $x$ 和 $y$ 分别是 $A$ 和 $A^T$ 的 Perron 根, 满足 $xy^T=1$.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.2

2. 设 $A$ 是个非负方阵且存在一个正整数 $p$ 使得 $A^p>0$, 则对所有正整数 $q\geq p$, $A^q>0$. 证明: 不妨设 $n\geq 2$. 由定理 6.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.1

1. $A\in M_n$ 称为正交投影矩阵如果 $A$ 是 Hermite 矩阵且幂等: $$\bex A^*=A=A^2. \eex$$ 证明: 若 $A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 则 $\sen{A-B}_\infty \leq 1$.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.7

7. 设 $A_0\in M_n$ 正定, $A_i\in M_n$ 半正定, $i=1,\cdots,k$, 则 $$\bex \tr \sum_{j=1}^k \sex{\sum_{i=0}^jA_i}^{-2}A_j

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