[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.3

简介: 3. $G\in M_n$ 称为一个秩 $k$ 部分等距矩阵, 若 $$\bex s_1(G)=\cdots=s_k(G)=1,\quad s_{k+1}(G)=\cdots=s_n(G)=0. \eex$$ 证明对 $X\in M_n$, $$\bex \sum_{j=1}^k s_j(X) =\...

3. $G\in M_n$ 称为一个秩 $k$ 部分等距矩阵, 若 $$\bex s_1(G)=\cdots=s_k(G)=1,\quad s_{k+1}(G)=\cdots=s_n(G)=0. \eex$$ 证明对 $X\in M_n$, $$\bex \sum_{j=1}^k s_j(X) =\max\sed{|\tr(XG)|; G\mbox{ 是个秩 }k\mbox{ 部分等距矩阵, }G\in M_n}. \eex$$ 再用这个表达式证明定理 4.9.

 

 

 

证明: (1). 设 $X$ 有奇异值分解 $$\bex X=U\diag(s_1,\cdots,s_n)V, \eex$$ 其中 $U,V$ 均为酉阵. 取 $$\bex G=V^*\diag(\underbrace{1,\cdots,1}_{k\mbox{ 个}},0,\cdots,0)U^*, \eex$$ 则 $G$ 一个秩 $k$ 部分等距矩阵, 且 $$\beex \bea |\tr(XG)| &=|\tr (U\diag(s_1,\cdots,s_k,0,\cdots,0)U^*|\\ &=|\tr(\diag(s_1,\cdots,s_k,0,\cdots,0))|\\ &=\sum_{j=1}^k s_j(X). \eea \eeex$$ (2). 对任一秩 $k$ 部分等距矩阵 $G$, $$\beex \bea |\tr(XG)|&\leq \sum_{j=1}^n s_j(XG)\quad\sex{\mbox{推论 4.11}}\\ &\leq \sum_{j=1}^n s_j(X)s_1(G)\quad\sex{\mbox{定理 4.3}}\\ &=\sum_{j=1}^n s_j(X). \eea \eeex$$ (3). 证明定理 4.9 如下. 对 $1\leq k\leq n$, $$\beex \bea \sum_{i=1}^k s_i(A+B) &=\sum_{i=1}^k \max\sed{ |\tr((A+B)G)|; G\mbox{ 是个秩 }k\mbox{ 部分等距矩阵, }G\in M_n }\\ &\leq \sum_{i=1}^k \max\sed{ |\tr(AG)|; G\mbox{ 是个秩 }k\mbox{ 部分等距矩阵, }G\in M_n }\\ &\quad+ \sum_{i=1}^k \max\sed{ |\tr(BG)|; G\mbox{ 是个秩 }k\mbox{ 部分等距矩阵, }G\in M_n }\\ &=\sum_{i=1}^k s_i(A) +\sum_{i=1}^k s_i(B)\\ &=\sum_{i=1}^k [s_i(A)+s_i(B)]. \eea \eeex$$

目录
相关文章
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.1
1. (Maybee) 设 $A$ 是一个树符号模式. 证明:   (1). 若 $A$ 的每个简单 $2$-圈都是正的, 则对于任何 $B\in Q(A)$, 存在可逆的实对角矩阵 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 为对称矩阵.
648 0
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.11
11. (Gasca-Pena) 一个 $n$ 阶可逆矩阵 $A$ 是全面非负的当且仅当对每个 $1\leq k\leq n$, $$\bex \det A[1,2,\cdots,k]>0, \eex$$ $$\bex \det A[\al\mid 1,2,\cdots,k]\geq 0,\quad...
573 0
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.15
15. (Hu-Li-Zhan) 秩为 $k$ 的 $n$ 阶对称 $0-1$ 矩阵中 $1$ 的个数可能是哪些数呢?       解答: 见 [Q. Hu, Y.Q. Li, X.Z. Zhan, Possible numbers of ones in $0-1$ matrices wit...
581 0
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.13
13. (Sinkhorn) 设 $A$ 是一个方的正矩阵, 则存在对角元素为正数的两个对角矩阵 $D_1$ 和 $D_2$ 使得 $D_1AD_2$ 为双随机矩阵 (doubly stochastic matrix).
599 0
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.14
14. (Shao) 设非负方阵 $A$ 具有 (6.22) 的形式并且 $A$ 没有零行也没有零列. 证明: $A$ 不可月且非本原指标为 $k$ 当且仅当乘积 $$\bex A_{12}A_{23}\cdots A_{k-1,k}A_{k1} \eex$$ 是本原矩阵.
514 0
|
资源调度
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.1
1. 怎样的非负矩阵可逆并且其逆也非负?       解答: 设 $A\geq0$ 可逆, 且其逆 $A^{-1}=B\geq 0$. 则 $$\bex I_n=AB=BA. \eex$$ 对 $A$ 的第 $i$ ($1\leq i\leq n$) 列, 由 $A$ 可逆知 $$\bex \exists\ j,\st a_{ij}>0.
522 0
|
资源调度 Perl
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.5
5. (Friedland) 给定 $A\in M_n$, $\lm_i\in \bbC$, $i=1,\cdots,n$. 证明: 存在对角矩阵 $D\in M_n$ 使得 $\sigma(A+D)=\sed{\lm_1,\cdots,\lm_n}$, 并且满足上述条件的对角矩阵 $D$ 只有有限多个.
554 0
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.14
14. 设 $A,B\in M_n$, 则对 $M_n$ 上的任何酉不变范数有 $$\bex \frac{1}{2}\sen{\sex{\ba{cc} A+B&0\\ 0&A+B \ea}}\leq \sen{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}} \leq \sen{\sex{\ba{cc} |A|+|B|&0\\ 0&0 \ea}}.
667 0
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.17
17. (Ando-Zhan) 设 $A,B\in M_n$ 半正定, $\sen{\cdot}$ 是一个酉不变范数, 则 $$\bex \sen{(A+B)^r}\leq \sen{A^r+B^r},\quad (0
820 0
|
资源调度 前端开发 rax
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.10
10. 设 $A,B\in M_n$ 并且 $AB$ 为 Hermite 矩阵, 则对任何酉不变范数 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{\Re(BA)}. \eex$$       证明: (1).
568 0