3. $G\in M_n$ 称为一个秩 $k$ 部分等距矩阵, 若 $$\bex s_1(G)=\cdots=s_k(G)=1,\quad s_{k+1}(G)=\cdots=s_n(G)=0. \eex$$ 证明对 $X\in M_n$, $$\bex \sum_{j=1}^k s_j(X) =\max\sed{|\tr(XG)|; G\mbox{ 是个秩 }k\mbox{ 部分等距矩阵, }G\in M_n}. \eex$$ 再用这个表达式证明定理 4.9.
证明: (1). 设 $X$ 有奇异值分解 $$\bex X=U\diag(s_1,\cdots,s_n)V, \eex$$ 其中 $U,V$ 均为酉阵. 取 $$\bex G=V^*\diag(\underbrace{1,\cdots,1}_{k\mbox{ 个}},0,\cdots,0)U^*, \eex$$ 则 $G$ 一个秩 $k$ 部分等距矩阵, 且 $$\beex \bea |\tr(XG)| &=|\tr (U\diag(s_1,\cdots,s_k,0,\cdots,0)U^*|\\ &=|\tr(\diag(s_1,\cdots,s_k,0,\cdots,0))|\\ &=\sum_{j=1}^k s_j(X). \eea \eeex$$ (2). 对任一秩 $k$ 部分等距矩阵 $G$, $$\beex \bea |\tr(XG)|&\leq \sum_{j=1}^n s_j(XG)\quad\sex{\mbox{推论 4.11}}\\ &\leq \sum_{j=1}^n s_j(X)s_1(G)\quad\sex{\mbox{定理 4.3}}\\ &=\sum_{j=1}^n s_j(X). \eea \eeex$$ (3). 证明定理 4.9 如下. 对 $1\leq k\leq n$, $$\beex \bea \sum_{i=1}^k s_i(A+B) &=\sum_{i=1}^k \max\sed{ |\tr((A+B)G)|; G\mbox{ 是个秩 }k\mbox{ 部分等距矩阵, }G\in M_n }\\ &\leq \sum_{i=1}^k \max\sed{ |\tr(AG)|; G\mbox{ 是个秩 }k\mbox{ 部分等距矩阵, }G\in M_n }\\ &\quad+ \sum_{i=1}^k \max\sed{ |\tr(BG)|; G\mbox{ 是个秩 }k\mbox{ 部分等距矩阵, }G\in M_n }\\ &=\sum_{i=1}^k s_i(A) +\sum_{i=1}^k s_i(B)\\ &=\sum_{i=1}^k [s_i(A)+s_i(B)]. \eea \eeex$$
