张祖锦
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张祖锦
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数学
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发表了文章 2014-02-14
[实变函数]2.3 开集 (open set), 闭集 (closed set), 完备集 (complete set)
1 $$\beex \bea E\mbox{ 是开集}&\lra E^o=E\\ &\lra \forall\ P_0\in E,\ \exists\ U(P_0)\subset E.
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发表了文章 2014-02-14
[实变函数]2.2 聚点 (cluster point), 内点 (interior point), 界点 (boundary point)
设 $E\subset \bbR^n, P_0\in \bbR^n$. 1 若 $\exists\ U(P_0)\subset E$, 则称 $P_0$ 为 $E$ 的内点 (interior point); $E$ 的全体内点所成集合称为 $E$ 的开核, 记作 $E^o$.
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发表了文章 2014-02-14
[实变函数]2.1 度量空间 (metric space), $n$ 维 Euclidean 空间
1 回忆: $$\bex \lim_{n\to\infty}a_n=a\lra \forall\ \ve>0,\ \exists\ N,\ \forall\ n\geq N,\mbox{ 有 }|a_n-a|
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发表了文章 2014-02-14
[实变函数]1.5 不可数集合
1 定义: $$\bex \mbox{集合}\sedd{\ba{ll} \mbox{有限集}\\ \mbox{无限集}\sedd{\ba{ll} \mbox{可数集}\\ \mbox{不可数集}:\mbox{ 不是可数集的无限集} \ea} \ea} \eex$$ 2 例: $\bbR$ 不可数.
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发表了文章 2014-02-14
[实变函数]1.4 可数集合
1 定义: 若 $A\sim\bbN$, 则称 $A$ 为可数集 (countable set). 2 例: 正奇数集合、正偶数集合、整数集合. 3 性质: (1) 任何无限集均有一个可数子集.
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发表了文章 2014-02-14
[实变函数]1.3 对等与基数
1 集合按照元素的个数可以分为有限集与无限集. 有限集有个数的概念: $$\beex \bea &\quad A,B\mbox{ 个数相同}\\ &\lra A,B\mbox{ 之间有一个一一对应 (bijection)}.
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发表了文章 2014-02-14
[实变函数]1.2 集合的运算
1 并集 (union) (1) 定义: $$\bex \cup_{\lambda\in \vLa}A_\lambda =\sed{x;\exists\ \lambda\in \vLa,\st x\in A_\lambda}.
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发表了文章 2014-02-14
[实变函数]1.1 集合的表示
1 集合 (Set): 若干事物的全体 (朴素的语言) (1) 例子: $\bbN$ 自然数集合 (natural numbers); $\bbZ$ 整数集合 (Zahlen 德语); $\bbQ$ 有理数集合 (quotients); $\bbR$ 实数集合 (real numbers).
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发表了文章 2014-02-13
[家里蹲大学数学杂志]第236期钟玉泉复变函数论前六章第二组习题参考解答
第一章 复数与复变函数 1将复数 $$\bex \frac{(\cos5\varphi+i\sin 5\varphi)^2}{(\cos3\varphi-i\sin 3\varphi)^3} \eex$$ 化为指数形式.
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发表了文章 2014-02-12
马知恩周义仓编常微分方程定性与稳定性方法部分习题参考解答
第一章 基本定理 1设有 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbx(t_0)=\bbx^0,\quad (t_0,\bbx^0)\in \bbR\times \bbR^n.
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发表了文章 2014-02-10
A Basic Course in Partial Differential Equations
A Basic Course in Partial Differential Equations, Qing Han, 2011 [下载说明:点击链接,等待5秒, 点击右上角的跳过广告后调至下载页面, 点击电信下载即可] http://adf.
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发表了文章 2014-02-10
在线将Dvju转换为Pdf
http://www.djvu-pdf.com/?language=cn
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发表了文章 2014-02-10
泛函分析试题---这是我于2011年做泛函分析助教时给出的一份期末参考试题
1. (15 分) 设 $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $l$ 为 $\mathcal{H}$ 上的一实值线性有界泛函, $C$ 是 $\mathcal{H}$ 中一闭凸子集, \[ f(v)=\frac{1}{2}||v||^2-l(v)\quad(\forall\ v\in C).
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发表了文章 2014-02-09
计算 $\dps{\int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}dx=\frac{\pi}{2}}$
计算 $\dps{\int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}dx=\frac{\pi}{2}}$. 由分部积分, $$\bee\label{1}\bea \int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}dx &=-\int_0^\infty \sin^2xd\frac{1}{x}\\ &=-\left.
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发表了文章 2014-02-09
Gronwall型不等式
Problem. Suppose $x(t)\in C[0,T]$, and satisfies $$\bex t\in [0,T]\ra 1\leq x(t)\leq C_1+C_2\int_0^t x(\tau)[1+\log x(\tau)]\rd \tau.
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发表了文章 2014-02-09
一套复变函数试题参考解答
一、 判断题 ($5\times 3'=15'$) 1. 函数若在某点可导一定在该点解析. 解答: 错. 比如函数 $$\bex f(x)=\left\{\ba{ll} e^{-\frac{1}{x^2}},&x\neq 0,\\ 0,&x=0.
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发表了文章 2014-02-08
级数的广义求和问题
(级数的广义求和问题). 设有数项级数 $$\bee\label{1} a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots \eee$$ 及 $\sed{S_n}$ 是其部分和序列, 给定无穷矩阵 $$\bee\label{2} \sex{\ba{ccccc} \alpha_{11}&\alpha_...
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发表了文章 2014-02-08
平均遍历定理
(平均遍历定理). 设 $X$ 是自反 Banach 空间, $V\in \scrB(X)$ 并且存在常数 $K$, 使得 $\sen{V^n}\leq K\ (n=1,2,\cdots)$, 令 $$\bex T_n=\frac{1}{n}\sex{I+V+\cdots+V^{n-1}}.
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发表了文章 2014-02-08
核与值域的关系
设 $X$ 是 Banach 空间, $T\in\scrB(X)$, 记 $$\beex \bea \scrN(T)&=\sed{x\in X;\ Tx=0},\\ \scrR(T)&=\sed{y\in X;\ Tx=y,\ x\in X},\\ \scrN...
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发表了文章 2014-02-08
泛函的延拓
设 $M$ 是 Hilbert 空间 $H$ 的线性子空间. $T$ 是 $M$ 上的有界线性算子. 证明在 $H$ 上存在一个有界线性算子 $\tilde T$, 使得在 $M$ 上 $\tilde T$ 与 $T$ 相等并且 $\sen{\tilde T}\leq \sen{T}$.
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发表了文章 2014-02-08
紧算子的强极限
设 $\sed{T_n}$ 是 Banach 空间 $X$ 上的紧算子列且强收敛于线性算子 $T$, 试举例说明 $T$ 未必是紧算子. 解答: 取 $$\bex X=\ell^1=\sed{x=(x_n)_{k=1}^\infty;\ \sen{x}=\sum_{k=1}^\infty|...
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发表了文章 2014-02-08
压缩映象原理的一个应用
设 $(t_0,s_0)\in\bbR^2$, $f(t,s)$ 在 $(t_0,s_0)$ 的领域 $N$ 中连续, $s_0=f(t_0,s_0)$, $f'_s(t,s)$ 在 $N$ 中存在且在 $(t_0,s_0)$ 连续并且 $f'_s(t_0,s_0)=0$.
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发表了文章 2014-02-08
Consequence of Point-by-Point Bounds
设 $X$ 是完备距离空间, $\scrF$ 是 $X$ 上的实连续函数族且具有性质: 对于每一 $x\in X$, 存在常数 $M_x>0$, 使得对于每一 $F\in\scrF$, $$\bex |F(x)|\leq M_x.
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发表了文章 2014-02-08
[家里蹲大学数学杂志]第218期正项级数的审敛法与人生态度
正项级数的审敛法与人生态度这学期物电学院电信专学生的高等数学 II 还是我来上. 紧接着上学期的课程, 我们开始了真正的无穷之旅. 考虑正项级数 $$\bee\label{ps} \sum_{n=1}^\infty u_n\quad(u_n>0).
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发表了文章 2014-02-08
$L^p$ 调和函数恒为零
设 $u$ 是 $\bbR^n$ 上的调和函数, 且 $$\bex \sen{u}_{L^p}=\sex{\int_{\bbR^n}|u(y)|^p\rd y}^{1/p}
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发表了文章 2014-02-08
利用正交变换和对称性求解三重积分
求 $$\bex I=\iiint_V|x+y+2z|\cdot |4x+4y-z|\rd x\rd y\rd z, \eex$$ 其中 $V$ 是区域 $\dps{x^2+y^2+\frac{z^2}{4}\leq 1}$.
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发表了文章 2014-02-08
对合矩阵的两个性质
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^2=E$. 证明: (1) $A$ 相似于形如 $\dps{\sex{\ba{cc} E_s&\\ &-E_{n-s} \ea}}$ 的矩阵; (2) 对于任何正整数 $m,k$, 都有 $$\bex \rank(A+E)^m+\rank(A-E)^k=n.
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发表了文章 2014-02-08
多项式互素与空间直和
设 $f(x),g(x)$ 为数域 $\bbF$ 上的多项式, 且有 $(f(x),g(x))=1$, $A$ 是 $\bbF$ 上的一方阵. 再设 $f(A)g(A)x=0$, $f(A)x=0$, $g(A)x=0$ 的解空间分别为 $W$, $V_1$ 和 $V_2$.
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发表了文章 2014-02-08
积分号下的极限
设 $f:\bbR\to\bbR$ 是有界连续函数, 求 $\dps{\lim_{t\to 0^+}\int_{\bbR} \frac{t}{t^2+x^2}f(x)\rd x}$. 解答: 设 $\dps{M=\sup|f|0$, 存在 $\delta>0$, 使得当 $|x|0,\st...
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发表了文章 2014-02-08
散度为零的向量的性质
设 $\Omega=\sed{\bbx\in\bbR^3; |\bbx|\leq 1}$. 设 $V:\bbR^3\to\bbR^3$, $V=(V_1,V_2,V_3)$ 是 $C^1$ 向量场, $V$ 在 $\bbR^3\bs \Omega$ 上恒为零, $\dps{\frac{\p V_1}...
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发表了文章 2014-02-08
函数可微的一个充分条件
设函数 $f:\bbR^n\to \bbR$ 在 $\bbR^n\bs \sed{0}$ 可微, 在 $0$ 连续, 且 $$\bex\lim_{\bbx\to0}\frac{\p f(\bbx)}{\p x_i}=0,\ i=1,2,\cdots,n.
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发表了文章 2014-02-08
级数的敛散性
讨论级数 $\dps{\sum_{n=3}^\infty \ln \cos\frac{\pi}{n}}$ 的敛散性. 解答: 由 $$\bex \vlm{n}\frac{\ln\cos\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi^2}{2n^2}} =\lim_{x\to0}\frac{\ln...
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发表了文章 2014-02-08
函数项级数的一致收敛
证明函数项级数 $\dps{\vsm{n}x^3e^{-nx^2}}$ 在 $[0,\infty)$ 上一致收敛. 证明: 由 $$\bex (x^3e^{-nx^2})'=x^2e^{-nx^2}(3-2nx^2)\sedd{\ba{ll}>0,&0
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发表了文章 2014-02-08
三重积分的计算
计算 $\dps{\iiint_\Omega \sqrt{x^2+y^2}\rd x\rd y\rd z}$, 其中 $\Omega$ 是曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $z=1$ 围成的有界区域.
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发表了文章 2014-02-08
数列极限的存在性
设数列 $\sed{x_n}$ 满足 $$\bex x_1=1,\quad x_{n+1}=\sqrt{4+3x_n}\ (n=1,2,\cdots). \eex$$ 证明 $\sed{x_n}$ 收敛, 并求其极限.
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发表了文章 2014-02-08
函数的凹性与次线性性
设 $f$ 在 $[0,c]$ 上连续, $f(0)=0$, 且当 $x\in (0,c)$ 时, $f''(x)
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发表了文章 2014-02-08
积分与级数的联系
(1) 设 $f(x)>0),\ (0\leq x0$, $\dps{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ 收敛, $a_n$ 单调. 试证: $\dps{\lim_{n\to\infty}na_n=0}$.
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发表了文章 2014-02-08
正项级数收敛的一个判别法
设 $\sed{a_n}$, $\sed{b_n}$ 都是正数列, 满足 $$\bex \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n}=0\mbox{ 及 } \lim_{n\to\infty}b_n\sex{\frac{a_n}{a_{n+1}-1}-1}=\lambda>0.
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发表了文章 2014-02-08
级数和的估计---积分的应用
证明: (1) $\dps{\frac{\ln(1+x)}{x\ln 2}\sum_{k=0}^n\int_k^{k+1}\frac{1}{2^t+x}\rd t\\ &=\int_0^{n+1}\frac{1}{2^t+x}\rd t,\\ \sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k+x}...
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发表了文章 2014-02-08
二维、三维 Laplace 算子的极坐标表示
(1) 设 $(r,\theta)$ 是 $\bbR^2$ 的极坐标, 即 $$\bex x=r\cos\theta,\quad y=r\sin \theta. \eex$$ 证明 Laplace 算子 $\dps{\lap=\frac{\p^2}{\p x^2}+ \frac{\p^2}{\p y...
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发表了文章 2014-02-08
Gram 矩阵与向量到子空间的距离
设 $W$ 是 $n$ 维 Euclidean 空间 $V$ 的子空间, $\beta\in V$, 定义 $\beta$ 到 $W$ 的距离 $$\bex \rd (\beta,W)=|\beta-\beta'|, \eex$$ 其中 $\beta'$ 为 $\beta$ 在 $W$ 上的正交投影.
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发表了文章 2014-02-08
$A,B$ 实对称 $\ra\tr((AB)^2)\leq \tr(A^2B^2)$
设 $A,B$ 是 $n$ 阶实对称矩阵. 试证: $\tr((AB)^2)\leq \tr(A^2B^2)$. 又问: 等号何时成立? 证明: 由 $$\bex \sum_i \sez{\sum_j a_{ij}b_{ji}}=\sum_j\sez{\sum_i b_{ji}a_{...
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发表了文章 2014-02-08
已知 $AB$, 求 $BA$
设 $A,B$ 分别是 $3\times 2$ 和 $2\times 3$ 实矩阵. 若 $\dps{AB=\sex{\ba{ccc} 8&0&-4\\ -\frac{3}{2}&9&-6\\ -2&0&1 \ea}}$, 求 $BA$.
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发表了文章 2014-02-08
求矩阵的幂的一个好方法
设 $\dps{A=\sex{\ba{ccc}1&0&0\\ -1&0&1\\ 0&1&0\ea}}$, 求 $A^{100}$. 解答: 易知 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=|\lambda E-A|=(\lambda+1)(\lambda -1)^2$.
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发表了文章 2014-02-08
四分之一椭圆上二重积分的计算
计算 $$\bex I=\iint_D\frac{\rd x\rd y}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}\cdot \sex{x^2+y^2+1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}^{3/2}}, \eex$$ 其中 $...
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发表了文章 2014-02-08
疏集与稠集
设 $E\subset \bbR^n$, 若 $\bbR^n$ 中任何非空开集必有非空开子集与 $E$ 不相交, 则 $E$ 称为疏集; 若 $\bbR^n$ 中任何非空开集与 $E$ 有非空交, 则 $E$ 称为 稠集.
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发表了文章 2014-02-08
第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[数学类]试题六参考解答
第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[数学类]试题六参考解答 设 $\bbR^{n\times n}$ 为 $n$ 阶实方阵全体, $E_{ij}$ 为 $(i,j)$ 元素为 $1$, 其余元素为 $0$ 的 $n$ 阶方阵, $i,j=1,2,\cdots,n$.
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发表了文章 2014-02-08
第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[数学类]试题五参考解答
设 $f:[-1,1\to\bbR$ 为偶函数, $f$ 在 $[0,1]$ 上是增函数; 又设 $g$ 是 $[-1,1]$ 上的凸函数, 即 $$\bex g(tx+(1-t)y)\leq tg(x)+(1-t)g(y),\quad \forall\ x,y\in [0,1],\quad \forall\ t\in [0,1].
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发表了文章 2014-02-08
第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[数学类]试题四参考解答
设 $a>1$, $f:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$ 可微. 求证: 存在趋于 $+\infty$ 的正数列 $\sed{x_n}$, 使得 $f'(x_n)\frac{1+c}{c}, \eex$$ 而对 $f'(x)\geq f(ax)$ 在 $c$ 到 $ac$ 上积分有\footnote{$f$ 单增.
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发表了文章 2014-02-08
介值定理的一个应用
设 $f(x),g(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, 且 $\dps{\max_{x\in [0,1]}f(x)=\max_{x\in [0,1]}g(x)}$. 证明: 存在 $x_0\in [0,1]$, 使得 $$\bex e^{f(x_0)}+3f(x_0)=e^{g(x_0)}+3g(x_0).
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2017-11-22
第九届全国大学生数学竞赛（江西赛区）数学类获奖学生名单
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2017-11-16
Latex "Error: Extra alignment tab has been changed to \cr. "
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2017-11-15
Latex "Error: File ended while scanning use of \@xdblarge"
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2017-11-10
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跟锦数学2017年下半年 (不再更新网页版)
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2017-2018-1 期中教学检查教师自查表
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数学分析高等代数考研试题荟萃[更新至2017年10月1日]
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老是上不了 google scholar...
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2017-08-24
2017-2018-1 课表
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2017-08-23
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2017-06-20
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