设 $X$ 是 Banach 空间, $T\in\scrB(X)$, 记 $$\beex \bea \scrN(T)&=\sed{x\in X;\ Tx=0},\\ \scrR(T)&=\sed{y\in X;\ Tx=y,\ x\in X},\\ \scrN(T)^\perp&=\sed{f\in X^*;\ f(x)=0,\ x\in \scrN(T)},\\ \bar\scrR(T)^\perp&=\sed{y\in X^*;\ f(x)=0,\ x\in \bar\scrR(T)}. \eea \eeex$$ 证明:
(1) $\bar \scrR(T)^\perp=\scrN(T^*)$;
(2) 当 $X$ 自反时, $\scrN(T)^\perp=\bar \scrR(T)$.
证明:
(1) $$\beex \bea f\in \bar \scrR(T)^\perp&\lra \sef{f,Tx}_{X^*\times X}=0\quad\sex{\forall\ x\in X}\\ &\lra \sef{T^*f,x}_{X^*\times X}=0\quad\sex{\forall\ x\in X}\\ &\lra T^*f=0\\ &\lra f\in \scrN(T^*). \eea \eeex$$
(2) 当 $X$ 是自反时, $X^{**}=X$. 在 $X^*$ 中对 $T^*$ 应用 (1) 有 $$\bex \bar \scrR(T^*)^\perp =\scrN(T^{**})=\scrN(T). \eex$$ 因此, $$\bex \bar \scrR(T)=\bar \scrR(T)^{\perp\perp}=\scrN(T)^\perp, \eex$$ 其中第一个等式利用里如下定理.
定理: 设 $M$ 是自反\footnote{这里需要自反, 如此才能使得 $M^{\perp\perp}\subset X$.} Banach 空间 $X$ 中的一个闭线性子空间, 则 $M^{\perp\perp}=M$.
证明: $$\beex \bea x\in M&\ra \sef{T,x}_{X^*\times X}=0\quad\sex{\forall\ T\in M^\perp}\\ &\ra \sef{x,T}_{X\times X^*}=0\quad\sex{\forall\ T\in M^\perp}\\ &\ra x\in M^{\perp\perp};\\ x_0\not\in M &\ra \exists\ f_0\in X^*,\st f_0(M)=0,\ f(x_0)=1\quad\sex{P82\mbox{ 推论 }2}\\ &\ra f_0\in M^\perp,\ \sef{x_0,f_0}_{X\times X^*}\neq 0\\ &\ra x_0\not\in M^{\perp\perp}\quad\sex{x\in M^{\perp\perp}\ra \forall\ f\in M^\perp,\mbox{ 有 }\sef{x,f}=0}. \eea \eeex$$
