(1) 设 $f(x)>0),\ (0\leq x<\infty)$, 且 $\dps{\int_0^{+\infty}f(x)\rd x<+\infty}$. 若 $xf(x)$ 递减且 $\dps{\lim_{x\to+\infty}xf(x)=0}$. 试证: $\dps{\lim_{x\to+\infty}xf(x)\ln x=0}$.
(2) 设 $a_n>0$, $\dps{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ 收敛, $na_n$ 单调. 试证: $\dps{\lim_{n\to\infty}na_n\ln n=0}$.
(3) 设 $a_n>0$, $\dps{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ 收敛, $a_n$ 单调. 试证: $\dps{\lim_{n\to\infty}na_n=0}$.
(4)设 $a_n>0$, $\dps{\sum_{n=1}^\infty a_n\ln n}$ 收敛, $na_n$ 单调. 试证: $\dps{\lim_{n\to\infty}na_n\ln\ln n=0}$.
证明: 比如考虑第二小题. 易知 $na_n$ 递减且 $na_n\to 0$. 而由 $$\beex \bea \sum_{k=[\sqrt{n}]}^{n-1} a_k&=\sum_{k=[\sqrt{n}]}^{n-1}ka_k\cdot \frac{1}{k}\\ &\geq na_n\sum_{k=[\sqrt{n}]}^{n-1}\frac{1}{k}\\ &\geq na_n\sum_{k=[\sqrt{n}]}^{n-1} \int_k^{k+1}\frac{1}{x}\rd x\\ &=na_n\int_{[\sqrt{n}]}^n \frac{1}{x}\rd x\\ &\geq na_n\int_{\sqrt{n}}^n \frac{1}{x}\rd x\\ &=\frac{1}{2}na_n\ln n \eea \eeex$$ 及 Cauchy 收敛准则即知结论.
