1 集合按照元素的个数可以分为有限集与无限集. 有限集有个数的概念: $$\beex \bea &\quad A,B\mbox{ 个数相同}\\ &\lra A,B\mbox{ 之间有一个一一对应 (bijection)}. \eea \eeex$$
2 对无限集而言, 我们可以推广得到: $$\beex \bea &\quad A,B\mbox{ 基数相同}\quad\sex{\mbox{记作: }\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}}\\ &\lra A,B\mbox{ 对等}\quad\sex{\mbox{记作: }A\sim B}\\ &\lra A,B\mbox{ 之间有一个一一对应 (bijection)}. \eea \eeex$$
3 例 1: 正奇数集合、正偶数集合、整数集都与自然数集对等, 基数相同.
4 例 2: $(-1,1)\sim \bbR$ 可通过正切函数 $\dps{y=\tan\frac{\pi}{2}x}$ 获得一一对应.
5 例 3: 两个同心圆可通过圆心发出的射线与圆的交点作成一一对应.
6 性质:
(1) 反射性 (reflexivity): $A\sim A$;
(2) 对称性 (symmetry): $A\sim B\ra B\sim A$;
(3) 传递性 (transitivity): $A\sim B, B\sim C\ra A\sim C$.
7 思考: $\bbR$ 中有 $<$, $=$, $>$ 关系 (任意两个数 $a,b$, $a<b,a=b,a>b$ 三者必居其
一且仅居其一), 集合的基数是否可以比较呢, 也有类似的性质么?
答案: 能! 有!
(1) 定义: $$\bex \overline{\overline{A}}<\overline{\overline{B}}\lra\sedd{\ba{ll} A,B\mbox{ 不对等}\\ A\mbox{ 与 }B\mbox{ 的某个真子集 }B^*\mbox{ 对等} \ea} \eex$$
(2) 推论: $$\bex \overline{\overline{A}}\leq \overline{\overline{B}}\lra A\mbox{ 与 }B\mbox{ 的某个子集 }B^*\mbox{ 对等} \eex$$
证明:
$\ra$ 显然.
$\la$ 若 $\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}$, 则成立; 不然, $A,B$ 不对等, 而 $B$ 中与 $A$ 对等的子集
$B^*$ 只能是真子集, 而 $\overline{\overline{B}}<\overline{\overline{A}}$.
(3) 对任何 $A,B$, $\overline{\overline{A}}<\overline{\overline{B}}$, $\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}$, $\overline{\overline{A}}>\overline{\overline{B}}$ 三者必居其一且仅居其一.
8 思考: $\bbR$ 中有 $a\leq b,b\leq a\ra a=b$, 集合的包含关系有 $A\subset B,B\subset A\ra A=B$.
对集合的基数而言有类似的关系么? 对!
(1) Bernstein 定理: $$\bex \overline{\overline{A}}\leq \overline{\overline{B}},\quad \overline{\overline{B}}\leq \overline{\overline{A}}\ra \overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}. \eex$$
(2) 例 1: $$\bex A\subset B\subset C, A\sim C\ra A\sim B\sim C. \eex$$
证明: 由传递性, 仅须证明 $A,B$ 对等. 我们利用 Bernstein 定理.
一方面,$A$与 $B$ 的子集 $A$ 对等;
另一方面, $B$ 通过$$\bex \ba{ccc} B&\subset&C\\ \wr&&\wr\\ A^*&\subset&A \ea\eex$$
得到与 $A$ 的一个子集的一一对应.
(3) 例 2: $(0,1]\sim \bbR, [0,1]\sim \bbR$, 所有 (开、闭、半开半闭、无穷) 区间均与 $\bbR$
对等.
(4) $\bbR^3$ 中的单位球 (地球仪) 去掉北极点与平面 $\bbR^2$ (墙上地图) 通过球极投影
一一对应.
