[实变函数]1.4 可数集合

简介: 1 定义: 若 A\bbN, 则称 A 为可数集 (countable set).        2 例: 正奇数集合、正偶数集合、整数集合.        3 性质:           (1) 任何无限集均有一个可数子集.

1 定义: 若 A\bbN, 则称 A 为可数集 (countable set).     

 

2 例: 正奇数集合、正偶数集合、整数集合.     

 

3 性质:    

 

    (1) 任何无限集均有一个可数子集. 即: 若 A 为无限集, 则 ¯¯Aa¯¯\bbN.     

        证明: A\bs\seda1,,an\vno 而可取出第 n+1 个元.    

 

    (2) 可数集的任何无限子集为可数集, 可数集的任何子集为有限集或可数集.     

        证明: 设 A 可数, BA 无限, 则由 BA¯¯B¯¯A; 由 B 无限及

        性质 (1) 知 ¯¯Aa=¯¯A. 据 Bernstein 定理, ¯¯B=a.

 

    (3) A 可数, B 有限或可数, 则 AB 可数.     

        证明: 若 AB=\vno, 则可设 \bexA=\seda1,a2,;\eex

\bexB=\sedb1,,bn 或 B=\sedb1,b2,.\eex
 

        于是 \bexAB=\sedb1,,bn,a1,a2, 或 B=\seda1,b1,a2,b2,\eex

 

        可数.  

 

        若 AB\vno, 则 \bexAB=A(B\bsA),\eex

 

        而化为已证的情形. 

 

    (4) \sedAini=1 有限或可数, 则 \dpsni=1Ai 也有限或可数; 且若某 Ai 可数, 则 

        \dpsni=1Ai 可数.           

        证明: 对 n 作数学归纳法即化为性质 (3). 

 

    (5) \sedAii=1 为可数集列, 则 \dpsi=1Ai 可数.     

        证明: 先设 Ai 互不相交: AiAj=\vno,ij. 由 Ai 可数知可再设        \bexAi=\sedai1,ai2,ai3,.\eex

       

        于是 \dpsi=1Ai 可一个不拉地排成蛇形:        \bex        \ba{ccccccccc}A_1=\{&a_{11}&\to&a_{12}&&a_{13}&\to&a_{14}&\cdots\}\\   &&\swarrow&&\nearrow&&\swarrow&&\\        A_2=\{&a_{21}&&a_{22}&&a_{23}&&a_{24}&\cdots\}\\   &\downarrow&\nearrow&&\swarrow&&\nearrow&&\\        A_3=\{&a_{31}&&a_{32}&&a_{33}&&a_{34}&\cdots\}\\   &&\swarrow&&\nearrow&&&&\\        A_4=\{&a_{41}&\to&a_{42}&&a_{43}&&a_{44}&\cdots\}.        \ea\eex

            当 Ai 不是互不相交的时候, 令        \bexB1=A1,Bi=Ai\bs(A1Ai1)\eex
       

        后有 Bi 互不相交且 \dpsi=1Bi=i=1Ai, 而可化为已证的情形. 

 

    (6) \sedAini=1 可数, 则 ni=1Ai 可数.    

        证明: 用数学归纳法. 归纳步利用        \beex       \bea &\quad A_{n+1}=\sed{a_1,a_2,\cdots}\\ &\ra        A_1\times\cdots\times A_{n+1}=\cup_{n=1}^\infty [A_1\times\cdots\times A_n\times \sed{a_i}],        \eea\eeex

       

        及性质 (5).      

 

 

4 例:    

 

    (1) 直线上互不相交的开区间族有限或可数.    

        证明: 设 \sed(aα,bα)α\vLa 是直线上互不相交的开区间族, 则可取定 (aα,bα) 

        中的一个有理数 rα, 而得到该集族到 \bbQ 的一个子集的一一对应. 

 

    (2) \bbQ 可数.    

        证明: 利用        \bex\bbQ=n=1\sedmn;m\bbZ\eex

       

        及性质 (5).    

 

    (3) \bbQ2 (\bbR2 中有理点全体) 可数.    

        证明: 利用 \bbQ2=\bbQ×\bbQ 及性质 (6). 

    

    (4) 整系数多项式全体 \bbZ[x] 可数.     

        证明:  \beex \bea \bbZ[x] &=\sed{0}\cup \cup_{n=0}^\infty     \sed{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0; a_i\in\bbZ,a_n\neq 0}\\ &\sim \sed{0}\cup    \cup_{n=0}^\infty (\bbZ\bs \sed{0})\times \underbrace{\bbZ\times \cdots\times \bbZ}_{n\mbox{ 个}}. \eea \eeex

  

 

    (5) 代数数 (整系数多项式的根, algebraic numbers; 不是代数数的复数称为

        超越数: transcendental numbers) 全体 A 可数.     

        证明: 对有理数 m/n\bbQ, 其为 nxm=0 的根, 而 \bbQA, ¯¯\bbQ¯¯A

        另外, A 中元 a 既然是整系数多项式的根, 就可以取定其中一个整系数多

        项式, 而得到 A\bbZ[x] 的一个子集的一一对应, 由例 (4), ¯¯Aa.    

 

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