1 定义: 若 $A\sim\bbN$, 则称 $A$ 为可数集 (countable set).
2 例: 正奇数集合、正偶数集合、整数集合.
3 性质:
(1) 任何无限集均有一个可数子集. 即: 若 $A$ 为无限集, 则 $\overline{\overline{A}}\geq a\equiv \overline{\overline{\bbN}}$.
证明: $A\bs \sed{a_1,\cdots,a_n}\neq \vno$ 而可取出第 $n+1$ 个元.
(2) 可数集的任何无限子集为可数集, 可数集的任何子集为有限集或可数集.
证明: 设 $A$ 可数, $B\subset A$ 无限, 则由 $B\subset A$ 知 $\overline{\overline{B}}\leq \overline{\overline{A}}$; 由 $B$ 无限及
性质 (1) 知 $\overline{\overline{A}}\geq a=\overline{\overline{A}}$. 据 Bernstein 定理, $\overline{\overline{B}}=a$.
(3) $A$ 可数, $B$ 有限或可数, 则 $A\cup B$ 可数.
证明: 若 $A\cap B=\vno$, 则可设 $$\bex A=\sed{a_1,a_2,\cdots}; \eex$$ $$\bex B=\sed{b_1,\cdots,b_n}\mbox{ 或 } B=\sed{b_1,b_2,\cdots}. \eex$$
于是 $$\bex A\cup B=\sed{b_1,\cdots,b_n,a_1,a_2,\cdots}\mbox{ 或 } B=\sed{a_1,b_1,a_2,b_2,\cdots} \eex$$
可数.
若 $A\cap B\neq \vno$, 则 $$\bex A\cup B=A\cup(B\bs A), \eex$$
而化为已证的情形.
(4) $\sed{A_i}_{i=1}^n$ 有限或可数, 则 $\dps{\cup_{i=1}^n A_i}$ 也有限或可数; 且若某 $A_i$ 可数, 则
$\dps{\cup_{i=1}^n A_i}$ 可数.
证明: 对 $n$ 作数学归纳法即化为性质 (3).
(5) $\sed{A_i}_{i=1}^\infty$ 为可数集列, 则 $\dps{\cup_{i=1}^\infty A_i}$ 可数.
证明: 先设 $A_i$ 互不相交: $A_i\cap A_j=\vno, i\neq j$. 由 $A_i$ 可数知可再设 $$\bex A_i=\sed{a_{i1},a_{i2},a_{i3},\cdots}. \eex$$
于是 $\dps{\cup_{i=1}^\infty A_i}$ 可一个不拉地排成蛇形: $$\bex \ba{ccccccccc}A_1=\{&a_{11}&\to&a_{12}&&a_{13}&\to&a_{14}&\cdots\}\\ &&\swarrow&&\nearrow&&\swarrow&&\\ A_2=\{&a_{21}&&a_{22}&&a_{23}&&a_{24}&\cdots\}\\ &\downarrow&\nearrow&&\swarrow&&\nearrow&&\\ A_3=\{&a_{31}&&a_{32}&&a_{33}&&a_{34}&\cdots\}\\ &&\swarrow&&\nearrow&&&&\\ A_4=\{&a_{41}&\to&a_{42}&&a_{43}&&a_{44}&\cdots\}. \ea\eex$$ 当 $A_i$ 不是互不相交的时候, 令 $$\bex B_1=A_1,\quad B_i=A_i\bs (A_1\cup \cdots\cup A_{i-1}) \eex$$
后有 $B_i$ 互不相交且 $\dps{\cup_{i=1}^\infty B_i=\cup_{i=1}^\infty A_i}$, 而可化为已证的情形.
(6) $\sed{A_i}_{i=1}^n$ 可数, 则 $\prod_{i=1}^n A_i$ 可数.
证明: 用数学归纳法. 归纳步利用 $$\beex \bea &\quad A_{n+1}=\sed{a_1,a_2,\cdots}\\ &\ra A_1\times\cdots\times A_{n+1}=\cup_{n=1}^\infty [A_1\times\cdots\times A_n\times \sed{a_i}], \eea\eeex$$
及性质 (5).
4 例:
(1) 直线上互不相交的开区间族有限或可数.
证明: 设 $\sed{(a_\alpha,b_\alpha)}_{\alpha\in \vLa}$ 是直线上互不相交的开区间族, 则可取定 $(a_\alpha,b_\alpha)$
中的一个有理数 $r_\alpha$, 而得到该集族到 $\bbQ$ 的一个子集的一一对应.
(2) $\bbQ$ 可数.
证明: 利用 $$\bex\bbQ=\cup_{n=1}^\infty \sed{\frac{m}{n};m\in\bbZ} \eex$$
及性质 (5).
(3) $\bbQ^2$ ($\bbR^2$ 中有理点全体) 可数.
证明: 利用 $\bbQ^2=\bbQ\times \bbQ$ 及性质 (6).
(4) 整系数多项式全体 $\bbZ[x]$ 可数.
证明: $$\beex \bea \bbZ[x] &=\sed{0}\cup \cup_{n=0}^\infty \sed{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0; a_i\in\bbZ,a_n\neq 0}\\ &\sim \sed{0}\cup \cup_{n=0}^\infty (\bbZ\bs \sed{0})\times \underbrace{\bbZ\times \cdots\times \bbZ}_{n\mbox{ 个}}. \eea \eeex$$
(5) 代数数 (整系数多项式的根, algebraic numbers; 不是代数数的复数称为
超越数: transcendental numbers) 全体 $A$ 可数.
证明: 对有理数 $m/n\in\bbQ$, 其为 $nx-m=0$ 的根, 而 $\bbQ\subset A$, $\overline{\overline{\bbQ}}\leq \overline{\overline{A}}$.
另外, $A$ 中元 $a$ 既然是整系数多项式的根, 就可以取定其中一个整系数多
项式, 而得到 $A$ 到 $\bbZ[x]$ 的一个子集的一一对应, 由例 (4), $\overline{\overline{A}}\leq a$.
