1 定义: 若 A∼\bbN, 则称 A 为可数集 (countable set).
2 例: 正奇数集合、正偶数集合、整数集合.
3 性质:
(1) 任何无限集均有一个可数子集. 即: 若 A 为无限集, 则 ¯¯A≥a≡¯¯\bbN.
证明: A\bs\seda1,⋯,an≠\vno 而可取出第 n+1 个元.
(2) 可数集的任何无限子集为可数集, 可数集的任何子集为有限集或可数集.
证明: 设 A 可数, B⊂A 无限, 则由 B⊂A 知 ¯¯B≤¯¯A; 由 B 无限及
性质 (1) 知 ¯¯A≥a=¯¯A. 据 Bernstein 定理, ¯¯B=a.
(3) A 可数, B 有限或可数, 则 A∪B 可数.
证明: 若 A∩B=\vno, 则可设 \bexA=\seda1,a2,⋯;\eex
于是 \bexA∪B=\sedb1,⋯,bn,a1,a2,⋯ 或 B=\seda1,b1,a2,b2,⋯\eex
可数.
若 A∩B≠\vno, 则 \bexA∪B=A∪(B\bsA),\eex
而化为已证的情形.
(4) \sedAini=1 有限或可数, 则 \dps∪ni=1Ai 也有限或可数; 且若某 Ai 可数, 则
\dps∪ni=1Ai 可数.
证明: 对 n 作数学归纳法即化为性质 (3).
(5) \sedAi∞i=1 为可数集列, 则 \dps∪∞i=1Ai 可数.
证明: 先设 Ai 互不相交: Ai∩Aj=\vno,i≠j. 由 Ai 可数知可再设 \bexAi=\sedai1,ai2,ai3,⋯.\eex
于是 \dps∪∞i=1Ai 可一个不拉地排成蛇形: \bex \ba{ccccccccc}A_1=\{&a_{11}&\to&a_{12}&&a_{13}&\to&a_{14}&\cdots\}\\ &&\swarrow&&\nearrow&&\swarrow&&\\ A_2=\{&a_{21}&&a_{22}&&a_{23}&&a_{24}&\cdots\}\\ &\downarrow&\nearrow&&\swarrow&&\nearrow&&\\ A_3=\{&a_{31}&&a_{32}&&a_{33}&&a_{34}&\cdots\}\\ &&\swarrow&&\nearrow&&&&\\ A_4=\{&a_{41}&\to&a_{42}&&a_{43}&&a_{44}&\cdots\}. \ea\eex
后有 Bi 互不相交且 \dps∪∞i=1Bi=∪∞i=1Ai, 而可化为已证的情形.
(6) \sedAini=1 可数, 则 ∏ni=1Ai 可数.
证明: 用数学归纳法. 归纳步利用 \beex \bea &\quad A_{n+1}=\sed{a_1,a_2,\cdots}\\ &\ra A_1\times\cdots\times A_{n+1}=\cup_{n=1}^\infty [A_1\times\cdots\times A_n\times \sed{a_i}], \eea\eeex
及性质 (5).
4 例:
(1) 直线上互不相交的开区间族有限或可数.
证明: 设 \sed(aα,bα)α∈\vLa 是直线上互不相交的开区间族, 则可取定 (aα,bα)
中的一个有理数 rα, 而得到该集族到 \bbQ 的一个子集的一一对应.
(2) \bbQ 可数.
证明: 利用 \bex\bbQ=∪∞n=1\sedmn;m∈\bbZ\eex
及性质 (5).
(3) \bbQ2 (\bbR2 中有理点全体) 可数.
证明: 利用 \bbQ2=\bbQ×\bbQ 及性质 (6).
(4) 整系数多项式全体 \bbZ[x] 可数.
证明: \beex \bea \bbZ[x] &=\sed{0}\cup \cup_{n=0}^\infty \sed{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0; a_i\in\bbZ,a_n\neq 0}\\ &\sim \sed{0}\cup \cup_{n=0}^\infty (\bbZ\bs \sed{0})\times \underbrace{\bbZ\times \cdots\times \bbZ}_{n\mbox{ 个}}. \eea \eeex
(5) 代数数 (整系数多项式的根, algebraic numbers; 不是代数数的复数称为
超越数: transcendental numbers) 全体 A 可数.
证明: 对有理数 m/n∈\bbQ, 其为 nx−m=0 的根, 而 \bbQ⊂A, ¯¯\bbQ≤¯¯A.
另外, A 中元 a 既然是整系数多项式的根, 就可以取定其中一个整系数多
项式, 而得到 A 到 \bbZ[x] 的一个子集的一一对应, 由例 (4), ¯¯A≤a.