压缩映象原理的一个应用

设 $(t_0,s_0)\in\bbR^2$, $f(t,s)$ 在 $(t_0,s_0)$ 的领域 $N$ 中连续, $s_0=f(t_0,s_0)$, $f'_s(t,s)$ 在 $N$ 中存在且在 $(t_0,s_0)$ 连续并且 $f'_s(t_0,s_0)=0$. 用压缩映射原理证明: 存在 $\delta>0$, $x(t)\in C[t_0-\delta,t_0+\delta]$, 使得 $s_0=x(t_0)$, $x(t)=f(t,x(t))$, $t\in [t_0-\delta,t_0+\delta]$. 证明: 由 $f'_s(t,s)$ 在 $N$ 中存在且在 $(t_0,s_0)$ 连续, $f'_s(t_0,s_0)=0$ 知 $$\bee\label{220:1} \exists\ U=[t_0-\ve,t_0+\ve]\times [s_0-\ve,s_0+\ve]\subset N,\st |f_s(t,s)|\leq\frac{1}{2},\ \forall\ (t,s)\in U. \eee$$ 又由 $f(t,s_0)$ 在 $t=t_0$ 处的连续性, $$\bee\label{220:2} \exists\ 0<\delta<\ve,\st |t-t_0|<\delta\ra |f(t,s_0)-f(t_0,s_0)|\leq\frac{\ve}{2}. \eee$$ 取 Banach 空间 $$\bex X=\sed{x\in C[t_0-\delta,t_0+\delta];\ x(t_0)=s_0,\ \sen{x-s_0}\leq \ve}, \eex$$ 其中 $$\bex \sen{y}=\max_{t\in [t_0-\delta,t_0+\delta]}|y(t)|\quad\sex{\forall\ y\in X} \eex$$ 是 $X$ 中的最大值范数. 考虑 $X$ 到 $C[t_0-\delta,t_0+\delta]$ 的映射 $$\bex F(x)(t)=f(t,x(t)),\quad x\in X,\quad t\in [t_0-\delta,t_0+\delta]. \eex$$ 则
(1) $$\bex F(x)(t_0)=f(t_0,x(t_0))=f(t_0,s_0)=s_0. \eex$$
(2) 由 $$\beex \bea &\quad\max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]} |F(x)(t)-s_0|\\ &=\max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]}|f(t,x(t))-s_0|\quad\sex{s_0=f(t_0,s_0)}\\ &\leq \max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]} |f(t,x(t))-f(t,x(t_0))|+\max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]} |f(t,s_0)-f(t_0,s_0)|\quad\sex{x(t_0)=s_0}\\ &\leq \frac{1}{2}\max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]} |x(t)-s_0| +\frac{\ve}{2}\quad\sex{\mbox{第一个由于 }\eqref{220:1},\mbox{ 第二个由于 }\eqref{220:2}}\\ &\leq\ve\quad\sex{\forall\ x\in X,\ \mbox{由 }X\mbox{ 的定义}} \eea \eeex$$ 知 $$\bex \sen{F(x)-s_0}\leq \ve\quad\sex{\forall\ x\in X}. \eex$$
(3) 由 $$\beex \bea \max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]} |F(x)(t)-F(y)(t)| &=\max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]}|f(t,x(t))-f(t,y(t))|\\ &\leq \frac{1}{2}\max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]} |x(t)-y(t)|\quad\sex{\mbox{由 }\eqref{220:1}} \eea \eeex$$ 知 $$\bex \sen{F(x)-F(y)}\leq \frac{1}{2}\sen{x-y},\quad \sex{\forall\ x,y\in X}. \eex$$ \en 综上, $F$ 是 $X$ 到自身的压缩映射. 按压缩映象原理, $F$ 在 $X$ 上有唯一不动点: $$\bex x(t)=F(x)(t)=f(t,x(t)),\quad t\in [t_0-\delta,t_0+\delta]. \eex$$