设 (t0,s0)∈\bbR2, f(t,s) 在 (t0,s0) 的领域 N 中连续, s0=f(t0,s0), f′s(t,s) 在 N 中存在且在 (t0,s0) 连续并且 f′s(t0,s0)=0. 用压缩映射原理证明: 存在 δ>0, x(t)∈C[t0−δ,t0+δ], 使得 s0=x(t0), x(t)=f(t,x(t)), t∈[t0−δ,t0+δ]. 证明: 由 f′s(t,s) 在 N 中存在且在 (t0,s0) 连续, f′s(t0,s0)=0 知 \bee∃ U=[t0−\ve,t0+\ve]×[s0−\ve,s0+\ve]⊂N,\st|fs(t,s)|≤12, ∀ (t,s)∈U.\eee
又由 f(t,s0) 在 t=t0 处的连续性, \bee∃ 0<δ<\ve,\st|t−t0|<δ\ra|f(t,s0)−f(t0,s0)|≤\ve2.\eee
取 Banach 空间 \bexX=\sedx∈C[t0−δ,t0+δ]; x(t0)=s0, \senx−s0≤\ve,\eex
其中 \bex\seny=maxt∈[t0−δ,t0+δ]|y(t)|\sex∀ y∈X\eex
是 X 中的最大值范数. 考虑 X 到 C[t0−δ,t0+δ] 的映射 \bexF(x)(t)=f(t,x(t)),x∈X,t∈[t0−δ,t0+δ].\eex
则
(1) \bexF(x)(t0)=f(t0,x(t0))=f(t0,s0)=s0.\eex
(2) 由 \beex \bea &\quad\max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]} |F(x)(t)-s_0|\\ &=\max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]}|f(t,x(t))-s_0|\quad\sex{s_0=f(t_0,s_0)}\\ &\leq \max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]} |f(t,x(t))-f(t,x(t_0))|+\max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]} |f(t,s_0)-f(t_0,s_0)|\quad\sex{x(t_0)=s_0}\\ &\leq \frac{1}{2}\max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]} |x(t)-s_0| +\frac{\ve}{2}\quad\sex{\mbox{第一个由于 }\eqref{220:1},\mbox{ 第二个由于 }\eqref{220:2}}\\ &\leq\ve\quad\sex{\forall\ x\in X,\ \mbox{由 }X\mbox{ 的定义}} \eea \eeex
知 \bex\senF(x)−s0≤\ve\sex∀ x∈X.\eex
(3) 由 \beex \bea \max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]} |F(x)(t)-F(y)(t)| &=\max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]}|f(t,x(t))-f(t,y(t))|\\ &\leq \frac{1}{2}\max_{t\in[t_0-\delta,t_0+\delta]} |x(t)-y(t)|\quad\sex{\mbox{由 }\eqref{220:1}} \eea \eeex
知 \bex\senF(x)−F(y)≤12\senx−y,\sex∀ x,y∈X.\eex
\en 综上, F 是 X 到自身的压缩映射. 按压缩映象原理, F 在 X 上有唯一不动点: \bexx(t)=F(x)(t)=f(t,x(t)),t∈[t0−δ,t0+δ].\eex
