设 $\Omega=\sed{\bbx\in\bbR^3; |\bbx|\leq 1}$. 设 $V:\bbR^3\to\bbR^3$, $V=(V_1,V_2,V_3)$ 是 $C^1$ 向量场, $V$ 在 $\bbR^3\bs \Omega$ 上恒为零, $\dps{\frac{\p V_1}{\p x}+\frac{\p V_2}{\p y}+\frac{\p V_3}{\p z}=0}$ 在 $\bbR^3$ 上恒为零.
(1) 设 $f:\bbR^3\to \bbR$ 是 $C^1$ 函数, 求 $\dps{\iiint_\Omega \n f\cdot V\rd x\rd y\rd z}$.
(2) 求 $\dps{\iiint_\Omega V_1\rd x\rd y\rd z}$.
解答: $$\beex \bea 0&=\iint_{\p\Omega} fV\cdot n \rd S\\ &=\iiint_\Omega \Div(fV)\rd x\rd y\rd z\\ &=\iiint_\Omega \n f\cdot V+f\Div V\rd x\rd y\rd z\\ &=\iiint_\Omega \n f\cdot V\rd x\rd y\rd z. \eea \eeex$$ 特别地, 取 $f(\bbx)=x_1$, 有 $$\bex \iiint_\Omega V_1\rd x\rd y\rd z=0. \eex$$
