设 Ω=\sed\bbx∈\bbR3;|\bbx|≤1. 设 V:\bbR3→\bbR3, V=(V1,V2,V3) 是 C1 向量场, V 在 \bbR3\bsΩ 上恒为零, \dps\pV1\px+\pV2\py+\pV3\pz=0 在 \bbR3 上恒为零.
(1) 设 f:\bbR3→\bbR 是 C1 函数, 求 \dps∭Ω\nf⋅V\rdx\rdy\rdz.
(2) 求 \dps∭ΩV1\rdx\rdy\rdz.
解答: \beex \bea 0&=\iint_{\p\Omega} fV\cdot n \rd S\\ &=\iiint_\Omega \Div(fV)\rd x\rd y\rd z\\ &=\iiint_\Omega \n f\cdot V+f\Div V\rd x\rd y\rd z\\ &=\iiint_\Omega \n f\cdot V\rd x\rd y\rd z. \eea \eeex
特别地, 取 f(\bbx)=x1, 有 \bex∭ΩV1\rdx\rdy\rdz=0.\eex
