[实变函数]1.1 集合的表示

1 集合 (Set): 若干事物的全体 (朴素的语言)  

    (1) 例子: 

        $\bbN$ 自然数集合 (natural numbers); 

        $\bbZ$ 整数集合 (Zahlen 德语); 

        $\bbQ$ 有理数集合 (quotients); 

        $\bbR$ 实数集合 (real numbers). 

    (2) 表示法: 

        列举 $\bbN=\sed{0,1,2,3,\cdots}$; 

        特征性质描述法 $\sed{x;\sin x>1}=\vno$.     

2 包含关系: $$\bex A\subset B\lra \forall\ x\in A,\mbox{ 有 }x\in B\lra (x\in A\ra x\in B). \eex$$  

    (1) 例 1: $f:[a,b]\to \bbR$ 有上界 $M$    

           等价于: $\forall\ x\in[a,b]$, 有 $f(x)\leq M$    

           等价于: $[a,b]\subset \sed{x;f(x)\leq M}.$ 

    (2) 例2: $f$ 在 $x_0$ 处连续

        等价于: $$\bex\forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\st x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\ra  f(x)\in (f(x_0)-\ve,f(x_0)+\ve)\eex$$

        等价于: $$\bex\forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\st f((x_0-\delta,x_0+\delta))\subset (f(x_0)-\ve,f(x_0)+\ve)\eex$$     

3 集合相等: $$\bex A=B\lra A\subset B,\quad B\subset A. \eex$$  

    (1) 例: 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 则    $$\bex    f([a,b])=[m,M],\quad m=\inf_{[a,b]}f,\quad M=\sup_{[a,b]}f.    \eex$$