数学
1. Coulomb 定律, 电场强度 (1) 真空中 $P_1$ 处有电荷 $q_1$, $P$ 处有电荷 $q$, ${\bf r}_1=\vec{P_1P}$, 则 $q$ 所受的力为 $$\bex {\bf F}=\cfrac{1}{4\pi \ve_0} \cfrac{qq_1{\bf r}_1}{r_1^3}, \eex$$ 其中 $\ve_0=8.
1. 电动力学研究的对象是电磁场, 研究电磁场的基本属性---运动规律及它和带电物质的相互作用. 2. 场, 物质的一种存在方式. 3. Maxwell 方程组是电动力学中的基本方程, 是一切有关电磁场讨论的基础和出发点.
数学杂志最新进展 Acta Applicandae Mathematicae Archive for Rational Mechanics and Analysis Communications in Mathematical Sciences Communications in...
\documentclass{ctexart} \usepackage{CJK,amsmath,amssymb,amsthm} \begin{document} 写文章需要规范、需要引用到位.
0. 引言 设 $f=u+iv$ 在区域 $D$ 内解析, 则 $$\bex u_x=v_y,\ u_y=-v_x\ra \sedd{\ba{ll} u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0\\ v_{xx}+v_{yy}=-u_{yx}+u_{xy}=0 \ea}.
0. 引言 (1) Cauchy 积分定理: 设 $D$ 为 $(n+1)$ 连通区域, $f$ 在 $D$ 内解析且连续到边界 $C$, 则 $\dps{\int_C f(\zeta)\rd \zeta=0}$.
若 (1) 既约分数 $\cfrac{n}{m}$ 满足 $0
设 $\dps{A=\sex{\ba{cccc} 1&2&&\\ 1&3&&\\ &&0&2\\ &&-1&0 \ea}}$, 且 $\dps{\sez{\sex{\frac{1}{2}A}^*}^{-1}BA=6AB+12E}$.
$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$ $$\sqrt[\uproot{7}n]{\frac{a}{b}}$$
0. 引言 (1) $\dps{\int_{|z-a|=\rho}\frac{1}{z-a}\rd z=2\pi i\neq 0}$: 有奇点 (在 $|z|>0$: 二连通区域内解析), 周线积分 $\neq 0$; (2) $\dps{\int_{0\to 1+i}\Re z\r...
作业讲解: P 90-92 T 5 (3) , 8 (1) , 13 (1) , 20 (1) , 22, 23. 0. 一些规定 (1) 今后所指曲线均指光滑或逐段光滑的. 逐段光滑的简单闭曲线称为周线.
$$\bex -\lap {\bf u}=\rot \rot {\bf u}-\n \Div {\bf u}. \eex$$
0. 引言 (1) 单值函数 (通常的函数), 多值函数 (如 $\sqrt[n]{z}$, $\Arg z$). (2) 单叶函数: $$\bex f\mbox{ 在区域 }D \mbox{ 内单叶: } z_1\neq z_2\ra f(z_1)\neq f(z_2).
应用留数定理计算实积分 $\dps{I(x)=\int_{-1}^1\frac{\rd t}{\sqrt{1-t^2}(t-x)}\ (|x|>1,x\in\bbR)}$ [华中师范大学2010年复变函数复试试题] 解答: $$\beex \bea I(x)&=\int_{-1}^1 ...
设 $$\bex f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}. \eex$$ (1) 求 $f(z)$ 在 $|z|
1. 指数函数 (1) 定义: $$\bex e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y). \eex$$ (2) 性质: a. $e^z$ 在 $\bbC$ 上解析, 且 $(e^z)'=e^z$.
1 Euler 公式 $e^{i\pi}+1=0$ (1) 它把 a. $e:$ 自然对数的底 $\approx 2. 718281828459$ (数分) b. $i$: 虚数单位 $=\sqrt{-1}$ (复变) c.
1. ($11'$) (1) 设 $G$ 是群. 证明: 群 $G$ 不可能是两个真子群的并. (2) 试举出一个群的例子, 它可以写成三个真子群的并. 2. ($11'$) 设 $G\leq S_n$ 是一个 $n$ 次置换群.
[复变函数]第01堂课 1 复数与复变函数 1.1 复数 [复变函数]第02堂课 1.1 复数 (续) [复变函数]第03堂课 1.2 复平面上的点集 [复变函数]第04堂课 1.
[实变函数]1.1 集合的表示 [实变函数]1.2 集合的运算 [实变函数]1.3 对等与基数 [实变函数]1.4 可数集合 [实变函数]1.5 不可数集合 [实变函数]2.
张恭庆编《泛函分析讲义》第一章第1节 度量空间习题解答 张恭庆编《泛函分析讲义》第一章第2节 完备化习题解答 张恭庆编《泛函分析讲义》第一章第3节 列紧性习题解答 张恭庆编《泛函分析讲义》第一章第4节 线性赋范空间习题解答 张恭庆编《泛函分析讲义》第一章第5节 ...
2. 解析函数及其简单性质 (1) 定义: a. 若 $w=f(z)$ 在区域 $D$ 内可微, 则称 $f$ 在 $D$ 内解析; b. 若 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 处的某邻域内解析, 则称 $f$ 在 $z_0$ 处解析; c.
1. 复球面 大漠孤烟直, 长河落日圆. $$\bex \bbC\cong \bbS^2\bs \sed{N},\quad \bbC_\infty=\bbC\cup \sed{\infty}\mbox{ 扩充复平面}.
设实半正定矩阵 $A$ 满足:$$\bee\label{130628.1}\alpha\in \bbQ^n,\quad\alpha^tA\alpha=0\ra \alpha=0.\eee$$证明或否定: $A$ 是正定的.
1 ($15'$) 求极限 $\dps{\lim_{x\to \infty} x^m \int_0^\frac{1}{x} \sin t^2\rd t,}$ 其中 $m$ 为任意整数. 解答: 当 $m=0,-1,-2,\cdots$ 时, 原极限 $\dps{=\lim_{s\to 0}s^{-m}\int_0^s \sin t^2\rd t=0.
数学分析 [数学分析高等代数考研试题官方下载地址] (没有pdf) 函数 存在无穷多个函数, 其复合为恒等函数 有限无界函数 对数不等式 平均值不等式 单调函数的一个充分条件 自然数集到自身的两个不可交换的双射 极限 数列极限的存在性 非线性递归数列的敛散性 导数组...
(Multiplicative Sobolev inequality). Let $\mu,\lambda$ and $\gamma$ be three parameters that satisfy $$\bex 1\leq \mu,\lm1\quad\mbox{and}\quad 1+\frac{3}{\gamma}=\frac{2}{\lm}+\frac{1}{\mu}.
1. 概念 (1) 单值函数、多值函数 $w=f(z)$ a. 例: $w=|z|,\bar z, z^2, \cfrac{z+1}{z-1}\ (z\neq 1), \sqrt[n]{z}\ (z\neq 0,\ n\geq 2),\ \Arg z\ (z\neq 0).
1. 平面点集的几个基本概念 (1) 邻域 $$\bex N_\rho(z_0)=\sed{z\in\bbC;\ |z-z_0|0, \exists\ N,\ \forall\ n\geq N,\ |z_n-z_0|0,\st N_\rho(z_0)\subset E, \eex$$ ...
4. 一些概念及性质 (1) $$\beex \bea z=x\in\bbR&\quad\mbox{实数},\\ z=x+iy\ (y\neq 0)&\quad\m...
1. 复数: $$\beex \bea \bbC&=\sed{z=x+iy;x,y\in\bbR},\\ z&=x+iy\quad(\mbox{代数形式})\\ &=(x,y)\quad(\mbox{实数对形式}\\ &=re^{i\tt}\quad(\mbox{指数形式}), \eea \eeex...
1( 15 分 ) 叙述二维 Laplace 方程 $u_{xx}+u_{yy}=0$ 的平均值公式 并用此证明 Laplace 方程的的极值原理. 2( 15 分 ) 用分离变量法求解下列问题: $$\bex \left\{\ba{lll} \frac{\p^2u}{\p t^2}-a^2...
6.0 引言 1数学分析中有积分与微分的互逆运算: $$\beex \bea f\in R[a,b]&\ra f\ae \mbox{ 连续}\\ &\ra\frac{\rd }{\rd x}\int_a^x f(t)\rd t =f(x),\ae\\ &\ra \mbox{积分后微分可 }\ae...
1 本节推广数学分析中的 Fubini 定理. 为此, 先引入 (1)(从低到高) 对 $A\subset \bbR^p, B\subset\bbR^q$, $$\bex A\times B=\sed{(x,y);x\in A, y\in B} \eex$$ 称为 $A$ 与 $B$ 的直积 (direct product).
1 记号: 一元函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的 (1)Riemann 积分: $\dps{(R)\int_a^b f(x)\rd x}$; (2)Lebesgue 积分: $\dps{(L)\int_{[a,b]}f(x)\rd x}$.
1定义 (1)$f$ 在 $E$ 上积分确定 $\lra$ $\dps{\int_Ef^+(x)\rd x
本节中, 设 $f,g,f_i$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数, $A,B$ 是 $E$ 的可测子集. 1 定义: (1) $f$ 在 $E$ 上的 Lebesgue 积分 $$\bex \int_...
1 设 $$\bex \phi(x)=\sum_{i=1}^j c_i\chi_{E_i}(x),\quad c_i\geq 0, \eex$$ 其中 $$\bex E_i\mbox{ 可测},\quad...
1 Riemann 积分的局限性 (1) Riemann 积分与极限的条件太严: $$\bex f_k\rightrightarrows f\ra \lim \int_a^b f_k =\int_a^b \lim f_k.
1 我们的经验是长度公理: 对直线上的一些点集构成的集族, 指定其上的一个函数 $m$, 使得 (1) 非负性 (non-negativity): $mE\geq 0$; (2) 有限可加性 (finitely additivity): 若 $\sed{E_i}_...
1 以前学过 $$\bex \mbox{ 点态收敛},\quad \mbox{ 一致收敛}, \eex$$ 本节将用测度引进另外一种收敛概念---``依测度收敛'': $$\beex \bea &\quad (f_k\ra f)\ (\mbox{菲赫金哥尔茨的记号})\\ &\lra \...
1 (Lusin 定理) 设 $$\bex f\mbox{ 是可测集 }E\mbox{ 上 }\ae \mbox{ 有限的可测函数}, \eex$$ 则 $$\bex \forall\ \delta>0,\ \exists\ \mbox{ 闭集 }F_\delta\subset E,\ ...
1 一致收敛很重要, 但可惜的是很多时候不一致收敛. 比如 $$\bex f_n(x)=x^n\to f(x)=\sedd{\ba{ll} 0,&x\in [0,1)\\ 1,&x=1 \ea},\quad x\in [0,1]; \eex$$ 但 $f_n$ 在 $[0,1-\delta]$ 上一致收敛! 本节的内容就是把这种现象普适化.
1 记号 (notations) (1) 广义实数: $\overline{\bbR}=\bbR\cup\sed{-\infty}\cup\sed{+\infty}$. (2) 本章主要考虑 $$\bex f:E\to \overline{\bbR}, ...
1 Riemann 积分主要考虑连续函数: $$\bex f\in C(\bbR^n)\lra \forall\ c\in\bbR,\ \sed{x;f(x)c}\mbox{ 都是开集}.
1 可测集的例子: (1) 零测度集可测: $$\bex E\mbox{ 是零测度集}\lra m^*E=0. \eex$$ 证明: $$\bex m^*T\geq m^*(T\cap E^c)=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c).
1 $\bbR^n$ 中集合 $E$ 称为可测的 (measurable), 如果 $$\bee\label{3.2:Caratheodory} m^*T=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c),\quad \forall\ T\subset \bbR^n.
1 并不是所有的集合都可求测度. 我们的想法是先对 $\bbR^n$ 中的任一集合定义一个``外 测度'' (outer measure), 然后再加上适当的条件 (Caratheodory 条件), 使 `` 外测度'' 变为``测度'' (measure).
1 Cantor 三分集的构造: $$\bex P=\cap_{n=1}^\infty F_n. \eex$$ 2 Cantor 三分集的性质 (1) $P$ 是完备集.
1 直线上开集的构造: $$\bex \mbox{直线上的开集 }O\mbox{ 是有限个或可数个互不相交的开区间的并}. \eex$$ 证明: 设 $P\in O$, 则 $\exists\ P\in (\alpha,\beta)\subset O$.