1. (15 分) 设 $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $l$ 为 $\mathcal{H}$ 上的一实值线性有界泛函, $C$ 是 $\mathcal{H}$ 中一闭凸子集, \[ f(v)=\frac{1}{2}||v||^2-l(v)\quad(\forall\ v\in C). \] 求证:
(1) 对任意 $\mathcal{H}$ 上线性有界泛函 $g$, $\exists\ u_0\in \mathcal{H}$, 使得 $f(u_0)=g(u_0)$;
(2) $\exists\ u_1\in C$, 使得 \[ f(u_2)=\inf_{v\in C}f(v); \]
(3) 讨论 $g,\ u_0,\ u_1$ 之间的关系.
2. (15 分) 设 $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $T:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 是线性算子且满足 \[ (Tx,y)=(x,Ty)\quad (\forall\ x,y\in \mathcal{H}). \] 求证:
(1) $T\in \mathcal{L}(\mathcal{H})$;
(2) $T^*=T$, 此时称 $T$ 为自共轭算子;
(3) 若 $\overline{R(A)}=\mathcal{H}$, 则对 $\forall\ y\in R(A)$, 方程 \[ Ax=y \] 存在唯一解.
3. (15 分) 证明:
(1) 若 $p\leq q$, 则 $l^p\subset l^q$;
(2) $l^\infty$ 不可分;
(3) $l^1$ 不自反.
4. (10 分) 设 $\varphi\in C[0,1]$, $T:\ L^2[0,1]\to L^2[0,1]$ 是由 \[ (Tf)(x)=\varphi(x)\int_0^1\varphi(t)f(t)\ dt\quad(\forall\ f\in L^2[0,1]) \] 给出的线性算子. 求证:
(1) $T$ 是自共轭算子 (定义见第2题);
(2) $\exists\ \lambda\geq 0$, 使得 $T^2=\lambda T$, 由此求出 $T$ 的谱半径 $r_\sigma(T)$.
5. (10 分) 设 $\mathcal{X}$ 是自反的 Banach 空间, $A\subset \mathcal{X}$. 证明:
(1) $A$ 弱列紧的充分必要条件是 $A$ 有界;
(2) 若 $A$ 弱列紧的, 则 $A$ 的凸包 \[ co (A) =\left\{ \sum_{i=1}^n\lambda_ix_i;\ \sum_{i=1}^n \lambda_i=1,\ \lambda_i\geq 0,\ x_i\in A,\ i=1,2,\cdots, n,\ n\in \mathbb{N} \right\} \] 也是弱列紧的.
6. (10 分) 证明:
(1) 在 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 中, $x_n\to x_0$ 的充分必要条件是 \[ ||x_n||\to ||x_0||,\quad x_n\rightharpoonup x_0; \]
(2) 在 $L^2[0,1]$ 中, $f_n\to f$ 的充分必要条件是 \[ f_n\rightharpoonup f,\quad f_n^2\stackrel{*}{\rightharpoonup} f^2. \]
7. (8 分) 设 $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $\mathcal{H}_0$ 是 $\mathcal{H}$ 的闭线性子空间, $f_0$ 是 $\mathcal{H}_0$ 上的线性有界泛函. 证明: $\exists\ \mathcal{H}$ 上的线性有界泛函 $f$, 使得 \[ f(x)=f_0(x)\quad(\forall\ x\in \mathcal{H}_0), \] \[ ||f||=||f_0||. \]
8. (8 分) 设 $\mathcal{X},\ \mathcal{Y}$ 是 Banach 空间, $T$ 是 $\mathcal{X}$ 到 $\mathcal{Y}$ 的线性算子, 又设对 $\forall\ g\in \mathcal{Y}^*$, $g(Tx)$ 是 $\mathcal{X}$ 上的线性有界泛函, 求证: $T$ 是连续的.
9. (9 分) 设 $C[a,b]$ 是连续函数空间, 赋以最大值范数 \[ ||x||_\infty =\sup_{t\in [a,b]} |x(t)|\quad (\forall\ x\in C[a,b]). \] 设 $\{x_n\}\subset C[a,b]$ $x\in C[a,b]$. 求证: $x_n\rightharpoonup x$ 的充分必要条件是 \[ \lim_{n\to\infty}x_n(t)=x(t),\quad \forall\ t\in [a,b]\cap \mathbb{Q}, \] 且 \[ \sup_{n\geq 1}||x_n||_\infty<\infty. \]
