设 $A,B$ 分别是 $3\times 2$ 和 $2\times 3$ 实矩阵. 若 $\dps{AB=\sex{\ba{ccc} 8&0&-4\\ -\frac{3}{2}&9&-6\\ -2&0&1 \ea}}$, 求 $BA$.
解答: 由 $$\bex AB\rra\sex{\ba{ccc} 1&0&-\frac{1}{2}\\\ 0&1&-\frac{3}{4}\\ 0&0&0 \ea} \eex$$ 知 $\rank(AB)=2,$ 而 $$\bex \rank(A)=\rank(B)=2. \eex$$ 于是对 $A$ 施行变换 (左乘 $2\times 3$ 矩阵), 对 $B$ 施行列变换 (右乘 $2\times 3$ 矩阵), $$\bex \exists\ X_{2\times 3},\ Y_{3\times 2},\st XA=E_2=BY. \eex$$ 如此, $$\beex \bea BA&=(XA)(BA)(BY)\\ &=X(AB)^2Y\\ &=X(9AB)Y\quad\sex{\mbox{直接计算}}\\ &=9(XA)(BY)\\ &=9E_2. \eea \eeex$$
