第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[数学类]试题六参考解答
设 $\bbR^{n\times n}$ 为 $n$ 阶实方阵全体, $E_{ij}$ 为 $(i,j)$ 元素为 $1$, 其余元素为 $0$ 的 $n$ 阶方阵, $i,j=1,2,\cdots,n$. 记 $\vGa_r$ 表示秩为 $r$ 的实方阵全体, $r=0,1,2,\cdots,n$; 并让 $\phi: \bbR^{n\times n}\to \bbR^{n\times n}$ 为可乘映照, 即满足 $$\bex \phi(AB)=\phi(A)\cdot \phi(B),\quad \forall\ A,B\in \bbR^{n\times n}. \eex$$ 证明: (1) 对 $\forall\ A,B\in \vGa_r$, 有 $\rank\phi(A)=\rank\phi(B)$. (2) 若 $\phi(0)=0$, 且存在 $r=1$ 的矩阵 $W$ 使得 $\phi(W)=0$, 则必存在可逆方阵 $R$ 使得 $$\bex \phi(E_{ij})=RE_{ij}R^{-1},\quad \forall\ i,j=1,2,\cdots,n. \eex$$
证明: (1) 由 $A,B\in \vGa_r$ 知存在可逆阵 $P,Q$, 使得 $A=PBQ$, 而 $$\bex \phi(A)=\phi(P)\phi(B)\phi(Q)\ra \rank\phi(A)\leq \rank\phi(B). \eex$$ 反过来也有 $$\bex \rank\phi(B)\leq \rank\phi(A). \eex$$ 故 $$\bex \rank\phi(A)= \rank\phi(B). \eex$$ (2) 记 $F_{ij}=\phi(E_{ij})$, 则由 $$\bex F_{ij}=\phi(E_{ii})=\phi(E_{ii}E_{ii}) =\phi(E_{ii})\phi(E_{ii})=F_{ij}^2 \eex$$ 知 $F_{ij}$ 幂等; 由 $E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}$ 知 $$\bex F_{ij}F_{kl}=\phi(\delta_{jk}E_{il}) =\sedd{\ba{ll} F_{il},&j=k\\ 0,&j\neq k \ea} =\delta_{jk}F_{il}; \eex$$ 再由 (1) 及 $\rank(E_{ii})=\rank(W)=1$ 知 $$\bex \rank(F_{ij})=\rank\phi(E_{ii})=\rank\phi(W)\geq 1. \eex$$ 而 $F_{11}$ 有属于特征值 $1$ 的特征向量 $\alpha_1$. 记 $$\bex \alpha_j=F_{j1}\alpha_1,\quad j=2,\cdots,n. \eex$$ 则由 $$\beex \bea &\quad \sum_{i=1}^n \lambda_i\alpha_i=0\\ &\ra 0=F_{1j}\sex{\sum_{i=1}^n \lambda_i\alpha_i} =\sum_{i=1}^n \lambda_i F_{1j}F_{i1}\alpha_1 =\sum_{i=1}^n \lambda_i \delta_{ij}\alpha_1 =\lambda_j\alpha_1\\ &\ra \lambda_j=0 \eea \eeex$$ 知 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 线性无关. 再记 $$\bex P=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n), \eex$$ 则 $P$ 可逆, 且由 $$\bex F_{ij}\alpha_k =F_{ij}F_{k1}\alpha_1 =\delta_{jk}F_{i1}\alpha_1 =\delta_{jk}\alpha_i \eex$$ 知 $$\beex \bea F_{ij}P&=(F_{ij}\alpha_1,\cdots,F_{ij}\alpha_n)\\ &=(0,\cdots,\alpha_i,\cdots,0)\\ &\quad \quad \quad \ \,\mbox{第 }j\mbox{ 个}\\ &=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)E_{ij}\\ &=PE_{ij}. \eea \eeex$$ 于是 $$\bex \phi(E_{ij})=F_{ij}=P E_{ij} P^{-1}. \eex$$
