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[物理学与PDEs]第2章第1节 理想流体力学方程组 1.1 预备知识

1.  理想流体: 指忽略粘性及热传导的流体.   2.  流体的状态 (运动状态及热力学状态) 的描述   (1)   速度向量 $\bbu=(u_1,u_2,u_3)$: 流体微元的宏观运动速度.

[复变函数]第15堂课 4.3 解析函数的 Taylor 展式

1.  Taylor 定理: 设 $f(z)$ 在 $K:|z-a|

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再寄小读者之数学篇

此栏目主要用于回答一些同学、学生、网友的数学问题, 自己整理的一些内容. 有些已给出解答, 有一些没有 (可能懒得写, 也可能确实不知道), 如您知道, 欢迎告知 (可以是tex编辑, mathtype编辑, word编辑, pdf编辑, 可写上您的大名或者笔名, 我会放到相应位置去).

[再寄小读者之数学篇](2014-04-08 from 1297503521@qq.com $\sin x-x\cos x=0$ 的根的估计)

(2014-04-08 from 1297503521@qq.com) 设方程 $\sin x-x\cos x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$\bex n\pi+\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{1}{n\pi}

[物理学与PDEs]第1章习题15 媒介中电磁场的电磁动量密度向量与电磁动量流密度张量

对媒质中的电磁场, 推导其电磁动量密度向量及电磁动量流密度张量的表达式 (7. 47) 及 (7. 48). 解答: 由 $$\beex \bea \cfrac{\rd}{\rd t}\int_\Omega \cfrac{1}{c^2}{\bf S}\rd V &=\cfrac{\rd }{\rd...

[物理学与PDEs]第1章习题14 求解 rot 方程

设向量函数 ${\bf B}(x,y,z)=(B_x,B_y,B_z)$ 在 $z\neq 0$ 时具有一阶连续偏导数, 在 $z=0$ 时具有第一类间断, 且 $$\bex \Div{\bf B}=0,\quad z\neq 0.

[物理学与PDEs]第1章习题13 静磁场的矢势在媒质交界面上的条件

试讨论对静磁场的矢势, 如何决定其在媒质交界面上的条件.   解答: 由 $\rot{\bf A}={\bf B}$ 知 $$\bex \oint_l {\bf A}\cdot\rd {\bf l} =\int_S \rot{\bf A}\cdot{\bf n}\rd S=\int_S {\bf...

[物理学与PDEs]第1章习题12 Coulomb 规范下电磁场的标势、矢势满足的方程

试给出在 Coulomb 规范下, 电磁场的标势 $\phi$ 与矢势 ${\bf A}$ 所满足的方程.   解答: 真空中的 Maxwell 方程组为 $$\bee\label{1_10_12:eq} \bea \Div{\bf E}&=\cfrac{\rho}{\ve_0},\\ \rot...

[物理学与PDEs]第1章习题11 各向同性导体中电荷分布的指数衰减

在各向同性的导体中, Ohm 定律具有如下形式: $$\bex {\bf j}=\sigma {\bf E}, \eex$$ 其中 $\sigma$ 称为电导率. 试证在真空中导体的连续性方程为 $$\bex \cfrac{\p \rho}{\p t}+\cfrac{\sigma}{\ve_0}\rho=0.

[物理学与PDEs]第1章习题10 自由电磁场在 Lorentz 规范变换下可使标势为零

在自由电磁场的情况, 证明: 在保持 Lorentz 条件下的规范变换下, 可使标势恒为零.   证明: 取 $\psi$ 满足 $\cfrac{\p \psi}{\p t}=\phi$ 且 $\cfrac{1}{c^2}\cfrac{\p^2\psi}{\p t^2}-\lap\psi=0$, 则在规范变换 (6.

[物理学与PDEs]第1章习题9 磁偶极矩的极限矢势

设在发现为 ${\bf n}$ 的平面上, 有一电流强度为 $I$ 的环形电流, 其方向与 ${\bf n}$ 成右手系. 又设该环形电流所围的面积为 $S_0$, 则 $$\bex {\bf m}=IS_0{\bf n} \eex$$ 称为该环形电流的磁偶极矩.

[Tex学习笔记]一个数学公式

\begin{equation*} \begin{aligned} &\quad\int |\nabla(T_1-\overline{T})^+|^2 \rm dx-\int \frac{3m_1}{2}\nabla \psi_1\nabla T_1(T_1-\overline{T})^+ \rm ...

[复变函数]第14堂课 4.2 幂级数

1. 幂级数 (1) 定义: $\dps{\sum_{n=0}^\infty c_n(\zeta-a)^n}$ $\to$ $\dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\ (z=\zeta-a)}$.

[再寄小读者之数学篇](2014-04-01 from 2103471050@qq.com 曲线积分)

求 $\int_\vGa y^2\rd s$, 其中 $\vGa$ 由 $\dps{\sedd{\ba{rl} x^2+y^2+z^2&=a^2\\ x+z&=a \ea}}$ 决定. 解答: $\vGa$: $$\bex \sedd{\ba{rl} \sex{x-\cfrac{a}{2}}^2+...

[复变函数]第13堂课 作业讲解; 4 解析函数的幂级数表示法 4.1 复级数的基本性质

第13堂课 作业讲解; 4 解析函数的幂级数表示法 4. 1 复级数的基本性质}   作业讲解: P 139 - 141, T 1, T 2 (2) , T 6, T 10 (1) , T 16 (1) .

[物理学与PDEs]第1章习题8 磁场分布 $\ra$ 电流分布

设在真空中有一圆柱形磁场 $$\bex B(P)=\sedd{\ba{ll} \cfrac{2I}{Cr},&r\geq R,\\ \cfrac{2I}{CR^2}r,&r

[物理学与PDEs]第1章习题7 载流线圈的磁场

设一半径为 $R$ 的圆周电路上的电流强度为 $I$. 试计算在通过圆心垂直于圆周所在平面的直线上, 由该圆周电路产生的磁场的磁感强度.   解答: 由对称性知在该直线 $l$ 上, ${\bf B}$ 仅有沿 ${\bf l}$ 方向 (与 ${\bf I}$ 成右手系) 的分量.

[物理学与PDEs]第1章习题6 无限长载流直线的磁场

试计算电流强度为 $I$ 的无限长的直导线所产生的磁场的磁感强度.   解答: 设 $P$ 到直线的距离为 $r$, 垂足为 $P_0$, 则 ${\bf B}(P)$ 的方向为 ${\bf I}\times {\bf r}_{P_0P}$, 大小为 $$\beex \bea {\bf B}(P...

[物理学与PDEs]第1章习题5 偶极子的电场强度

试计算由习题 4 给出的电偶极子的所形成的电场的电场强度. 解答: $$\beex \bea {\bf E}(P)&=\cfrac{1}{4\pi\ve_0} \sez{\cfrac{-q}{r_{P_0P}^3}{\bf r}_{P_0P}+\cfrac{q}{r_{P_1P}^3}{\bf r...

[物理学与PDEs]第1章习题4 偶极子的极限电势

对在 $P_0$ 及 $P_1$ 处分别置放 $-q$ 及 $+q$ 的点电荷所形成的电偶极子, 其偶极距 ${\bf m}=q{\bf l}$, ${\bf l}=\vec{P_0P_1}$. 试证明当 $l\to 0$, $q\to+\infty$, 但 $m=ql$ 保持不变时, 此偶极子产生...

[物理学与PDEs]第1章习题3 常场强下电势的定解问题

在一场强为 ${\bf E}_0$ (${\bf E}_0$ 为常向量) 的电场中, 置入一个半径为 $R$ 的导电球体, 试导出球外电势所满足的方程及相应的定解条件.   解答: 设导电球体为 $B_R$, 则 $$\beex \bea \lap\phi=0,&\quad\quad\mbox{...

[物理学与PDEs]第1章习题参考解答

[物理学与PDEs]第1章习题1 无限长直线的电场强度与电势   [物理学与PDEs]第1章习题2 均匀带电球面的电场强度与电势   [物理学与PDEs]第1章习题3 常场强下电势的定解问题   [物理学与PDEs]第1章习题4 偶极子的极限电势   [物理学与PDEs]第1章习题5...

[物理学与PDEs]第1章习题2 均匀带电球面的电场强度与电势

设有一均匀分布着电荷的半径为 $R$ 的球面, 其电荷密度 (即单位面积上的电荷量) 为 $\sigma$. 试求该球面所形成电场的电场强度及电势. 解答: 设 $P$ 距圆心的距离为 $r$, 不妨设 $P(r,0,0)$.

[物理学与PDEs]第1章习题1 无限长直线的电场强度与电势

设有一均匀分布着电荷的无限长直线, 其上的电荷线密度 (即单位长度上的电荷量) 为 $\sigma$. 试求该直线所形成的电场的电场强度及电势. 解答: 设空间上点 $P$ 到直线的距离为 $r$, 以垂足为原点 $O$, $\vec{OP}$ 方向为 $x$ 轴正方向建立直角坐标系, 则有 $$...

[物理学与PDEs]第1章第9节 Darwin 模型 9.3 Darwin 模型

1. $\Omega$ 中 ${\bf A}={\bf A}_T+{\bf A}_L$, 其中 $\Div{\bf A}_T=0$, $\rot{\bf A}_L={\bf 0}$. 若 $$\bex {\bf A}_L\times{\bf n}={\bf 0},\mbox{ on }\p\Omeg...

[物理学与PDEs]第1章第9节 Darwin 模型 9.2 Maxwell 方程组的一个定解问题

设 $\Omega$ 为一有界区域, 外部为理想导体 $(\sigma=+\infty)$, 则 $\Omega$ 中电磁场满足 Maxwell 方程组 $$\beex \bea \ve\cfrac{\p{\bf E}}{\p t}-\cfrac{1}{\mu}\rot{\bf B}&=-{\bf ...

[物理学与PDEs]第1章第9节 Darwin 模型 9.1 拟静电模型及其修正形式

1. 拟静电模型: 当 $\cfrac{\omega}{c}\ll \cfrac{1}{c}\lra \omega\ll \cfrac{c}{l}$ 时, $$\bex \cfrac{1}{c}\cfrac{\p{\bf B}}{\p t}\sim \cfrac{\omega}{c}\ll \cfr...

[物理学与PDEs]第1章第8节 静电场和静磁场 8.3 静磁场

1. 静磁场: 由稳定电流形成的磁场.   2. 此时, Maxwell 方程组为 $$\beex \bea \Div{\bf D}&=\rho_f,\\ \rot {\bf E}&={\bf 0},\\ \Div{\bf B}&=0,\\ \rot{\bf H}&={\bf j}_f.

[物理学与PDEs]第1章第8节 静电场和静磁场 8.2 稳定电流的电场

1. 此时, Maxwell 方程组为 $$\beex \bea \Div{\bf D}&=\rho_f,\\ \rot {\bf E}&={\bf 0},\\ \Div{\bf B}&=0,\\ \rot{\bf H}&={\bf j}_f.

[物理学与PDEs]第1章第8节 静电场和静磁场 8.1 静电场

1. 静电场: 由静止电荷产生的稳定电场.     2. 此时, Maxwell 方程组为 $$\bex \Div{\bf D}=\rho_f,\quad \rot{\bf E}={\bf 0}.

[物理学与PDEs]第1章第7节 媒质中的 Maxwell 方程组 7.3 媒质中电磁场量的表示

1. 电磁能量密度 $$\bex \cfrac{1}{2}({\bf E}\cdot{\bf D}+{\bf B}\cdot{\bf H}). \eex$$     2. 电磁能量流密度向量 $$\bex {\bf S}={\bf E}\times{\bf H}.

[物理学与PDEs]第1章第7节 媒质中的 Maxwell 方程组 7.2 媒质交界面上的条件

通过 Maxwell 方程组的积分形式易在交界面上各量应满足交界面条件: $$\beex \bea \sez{{\bf D}}\cdot{\bf n}=\omega_f,&\sex{\omega_f:\ \mbox{交界面上自由电荷密度}};\\ \sez{{\bf B}}\cdot{\bf n}=...

[物理学与PDEs]第1章第7节 媒质中的 Maxwell 方程组 7.1 媒质中的 Maxwell 方程组

1.媒质的极化 (1) 束缚电荷: 被束缚在原来位置上的电荷. (2) 在电磁场中, 束缚电荷会有一微小的运动, 而产生电偶极矩. 此即称为媒质的极化. (3) 设电极化强度 (单位体积的电偶极矩) 为 ${\bf P}$, 则 $$\bex \rho'=-\Div {\bf P}, \eex$$ 其中 $\rho'$ 为束缚电荷体密度.

[物理学与PDEs]第1章第6节 电磁场的标势与矢势 6.3 例 --- 电偶极辐射

1. 偶极子: 相距为 $l$, 带电量分别为 $\pm q$ 的一对电荷组成的系统. 称 $$\bex {\bf m}=q{\bf l} \eex$$ 为电偶极矩, 其中 ${\bf l}$ 为 $-q$ 到 $q$ 的向量.

[物理学与PDEs]第1章第6节 电磁场的标势与矢势 6.2 电磁场的标势与矢势

1.  标势、矢势:  $$\beex \bea \Div{\bf B}=0&\ra \exists\ {\bf A},\st {\bf B}=\rot{\bf A},\\ \rot{\bf E}=-\cfrac{\p {\bf B}}{\p t} =\rot \cfrac{\p {\bf A}}{...

[物理学与PDEs]第1章第6节 电磁场的标势与矢势 6.1 预备知识

1.  若 ${\bf B}$ 为横场 ($\Div{\bf B}=0\ra {\bf k}\cdot {\bf B}=0\ra $ 波的振动方向与传播方向平行), 则 $$\bex \exists\ {\bf A},\st {\bf B}=\rot{\bf A}.

导数组合的极限

设实系数多项式 $p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ 的所有根的实部均小于零. 再设 $f:(0,\infty)\to\bbR$ $n$ 次可微, 满足 $$\lim_{x\to+\infty}[f^{(n)}(x)+a_{n-1}f^{(n-1)}(x)+\cdots+a_0]=A.

[物理学与PDEs]第1章第5节 Maxwell 方程组的数学结构, 电磁场的波动性 5.3 电磁场的波动性, 自由电磁波

1. 由 Maxwell 方程组易知 $$\beex \bea \cfrac{1}{c^2}\cfrac{\p^2{\bf E} }{\p t^2}-\lap{\bf E}  &=-\sex{\cfrac{1}{\ve_0}\n\rho+\mu_0\cfrac{\p {\bf j} }{\p t}}...

[物理学与PDEs]第1章第5节 Maxwell 方程组的数学结构, 电磁场的波动性 5.2 一阶对称双曲型偏微分方程组

1. 一般的一阶线性偏微分方程组形式为: $$\bee\label{1. 5. 2:1st_lin_pde} LU\equiv A_0\cfrac{\p U}{\p t} +\sum_{k=1}^n A_k\cfrac{\p U}{\p t}+CU=F, \eee$$ 其中   (1) $U=(...

[物理学与PDEs]第1章第5节 Maxwell 方程组的数学结构, 电磁场的波动性 5.1 Maxwell 方程组的数学结构

Maxwell 方程组具有本质重要性的为: $$\beex \bea \ve_0\mu_0\cfrac{\p {\bf E} }{\p t} -\rot{\bf B} &=-\mu_0{\bf j} ,\\ \cfrac{\p {\bf B} }{\p t}+\rot {\bf E} &={\bf 0} .

[物理学与PDEs]第1章第4节 电磁能量和电磁动量, 能量、动量守恒与转化定律 4.3 电磁能量 (动量) 密度, 电磁能量流 (动量流) 密度

1. 电磁能量密度: $\cfrac{1}{2}\sex{\ve_0E^2+\cfrac{1}{\mu_0}B^2}$.     2. 电磁能量流密度向量: ${\bf S}=\cfrac{1}{\mu_0}{\bf E}\times {\bf B}$.

[物理学与PDEs]第1章第4节 电磁能量和电磁动量, 能量、动量守恒与转化定律 4.2 电磁动量, 动量守恒与转化定律

1. 设真空中运动的带电体的总机械动量为 ${\bf G}_m$, 则 $$\beex \bea \cfrac{\rd {\bf G}_m}{\rd t} &=\int_\Omega {\bf f}\rd V\\ &=\int_\Omega (\rho {\bf E}+\rho {\bf v}\ti...

[物理学与PDEs]第1章第4节 电磁能量和电磁动量, 能量、动量守恒与转化定律 4.1 电磁能量, 能量守恒与转化定律

1. 设真空中运动的带电体的总机械能为 $U_m$, 则 $$\beex \bea \cfrac{\rd U_m}{\rd t} &=\int_\Omega {\bf f}\cdot {\bf v} \rd V\quad\sex{\mbox{功能关系}}\\ &=\int_\Omega (\rho ...

[物理学与PDEs]第1章第3节 真空中的 Maxwell 方程组, Lorentz 力 3.2 Lorentz 力

1. Lorentz 假定, 不论带电体的运动状态如何, 其所受的力密度 (单位体积所受的力) 为 $$\bex {\bf F}=\rho {\bf E}+{\bf j}\times{\bf B} =\rho{\bf E}+\rho {\bf v}\times {\bf B}.

[物理学与PDEs]第1章第3节 真空中的 Maxwell 方程组, Lorentz 力 3.1 真空中的 Maxwell 方程组

1.稍微修正以前局部使用的方程组可以得到真空中的 Maxwell 方程组: $$\beex \bea \Div {\bf E}&=\cfrac{\rho}{\ve_0},\\ \rot{\bf E}&=-\cfrac{\p {\bf B}}{\p t},\\ \Div {\bf B}&=0,\\ \...

[物理学与PDEs]第1章第2节 预备知识 2.3 Faraday 电磁感应定律

1.  Faraday 电磁感应定律: 设 $l$ 为任一闭曲线, 则 $$\bex \oint_l{\bf E}\cdot\rd {\bf l} =-\int_S \cfrac{\p {\bf B}}{\p t}\cdot{\bf n}\rd S, \eex$$ 其中 $S$ 为任一以 $l$ 为边界的有向曲面, 其方向与 $l$ 成右手定则.

[物理学与PDEs]第1章第2节 预备知识 2.2 Ampere-Biot-Savart 定律, 静磁场的散度与旋度

1. 电流密度, 电荷守恒定律 (1) 电荷的定向移动形成电流. (2) 电流密度 ${\bf j}$, 是描述导体内一点在某一时刻电流流动情况的物理量, 用单位时间内通过垂直于电流方向的单位面积的电荷量来衡量.

[家里蹲大学数学杂志]第284期李大潜秦铁虎编著物理学与偏微分方程笔记

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