一、 判断题 ($5\times 3'=15'$)
1. 函数若在某点可导一定在该点解析.
解答: 错. 比如函数 $$\bex f(x)=\left\{\ba{ll} e^{-\frac{1}{x^2}},&x\neq 0,\\ 0,&x=0. \ea\right. \eex$$
2. 若函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析, 则 $f(z)$ 在区域 $D$ 内沿任意一条闭曲线 $C$ 的积分为 $0$. 解答: 错. $D$ 须为单连通区域. 否则只有 Cauchy 积分公式 $$\bex f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\rd \zeta,\quad z\in D. \eex$$
3. 函数在一点解析的充要条件是它在该点的邻域内可展开成幂级数.
解答: 对. 函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析是指它在 $z_0$ 的某个邻域内解析.
4. $z=0$ 是 $\dps{\frac{\sin z}{z}}$ 的一阶极点.
解答: 错. 由 $\dps{\lim_{z\to 0}\frac{\sin z}{z}=1}$ 知 $z=0$ 为函数的可去奇点.
5. 不同的函数经 Laplace 变换后的像函数可能相同.
解答: 对. 由 $$\bex \mathcal{L}[f](s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\rd t \eex$$ 即知 $\mathcal{L}[f]$ 仅与 $f$ 在 $[0,\infty)$ 上的值有关.
二、 填空题 ($5\times 3'=15'$)
1. $\dps{\sex{\frac{1+\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i}}^3= .}$
解答: $$\bex \sex{\frac{1+\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i}}^3 =\sex{\frac{-2+2\sqrt{3}i}{4}}^3 =\sex{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}^3 =1. \eex$$
注记: $\dps{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$ 是三次单位根.
2. $\dps{\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}}$ 的收敛半径为 $ .$
解答: 由 $\dps{\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}=e^z}$ 即知原级数的收敛半径为 $+\infty$.
3. 函数 $\dps{\frac{5z^2-z+2}{4z^2+1}}$ 的解析区域为 $ .$
解答: 由 $\dps{4z^2+1\neq 0\ra z\neq \pm\frac{1}{2}i}$ 即知函数的解析区域为 $$\bex \bbC-\sed{\pm\frac{1}{2}i}. \eex$$
4. $e^\frac{1}{z}$ 的孤立奇点的类型为 $ $ (可去奇点、极点、本性奇点).
解答: 由 $$\bex e^\frac{1}{z}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!z^n}\quad(0<|z|<\infty) \eex$$ 知 $z=0$ 为函数的{\bf 本性奇点}.
5. 设 $C$ 为正向圆周 $|z|=1$, 则 $\dps{\oint_C\frac{1}{(z-1+i)^2}\rd z= }.$
解答: 由 Cauchy 积分公式知 $$\bex \oint_C\frac{1}{(z-1+i)^2}\rd z=0. \eex$$
三、 计算题 ($6'+9'+10'+8'+12'+10'+15'=70'$)
1. 分别给出 $z=-3+4i$ 的三角形式和指数形式.
解答: $$\bex z=-3+4i=5(\cos \varphi+i\sin\varphi)=5e^{i\varphi}, \eex$$ 其中 $\dps{\varphi=\arccos\sex{-\frac{3}{5}}}$.
2. 判断下列函数在何处可导、何处解析? $$\bex (1) f(z)=x^2+iy^2;\quad (2) f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3). \eex$$
解答: (1) 由 Cauchy-Riemann 方程知函数不解析, 而也不可导. (2) 设 $u=x^3-3xy^2$, $v=3x^2y-y^3$, 则由 $$\bex u_x=3x^2-3y^2=v_y,\quad u_y=-6xy=-v_x \eex$$ 及 Cauchy-Riemann 方程知函数解析且可导.
3. 设 $C$ 为正向圆周 $|z|=3$, 计算积分 $\dps{I=\oint_C \frac{e^z}{z(z-2)^2}\rd z}$.
解答: $$\beex \bea I&=\oint_C \frac{e^z}{z(z-2)^2}\rd z\\ &=\oint_C\frac{\frac{1}{4}e^z}{z}\rd z +\oint_C \frac{\sex{-\frac{1}{4}z+1}e^z}{(z-2)^2}\rd z\\ &=\frac{1}{4}+\frac{2\pi i}{1!}\sez{\sex{-\frac{1}{4}z+1}e^z}'_{z=2}\\ &=\frac{1}{4}+\frac{\pi e^2i}{2}\\ &=\frac{1+2\pi e^2i}{4}. \eea \eeex$$
4. 分别在圆环 $(1) 0<|z|<1;\ (2) 0<|z-1|<1$ 内将函数 $\dps{f(z)=\frac{1}{z(1-z)}}$ 展开成 Laurent 展式.
解答: (1) 在 $0<|z|<1$ 内, $$\bex f(z)=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty z^n=\sum_{n=-1}^\infty z^n; \eex$$ (2) 在 $0<|z-1|<1$ 内, $$\bex f(z)=\frac{1}{(1-z)[1-(1-z)]}=\frac{1}{1-z}\sum_{n=0}^\infty (1-z)^n =\sum_{n=-1}^\infty (1-z)^n. \eex$$
5. 求下列各函数在孤立奇点处的留数. (1) $\dps{\frac{1-\cos z}{z^2}}$; (2) $\dps{\frac{1}{z(z-2)(z+3)}}$ 在 $z=2$ 处的留数; (3) $\dps{\sin\frac{1}{z-1}}$.
解答: (1) $z=0$ 为函数的可取奇点, 而 $$\bex \Res_{z=1}\frac{1-\cos z}{z^2}=0. \eex$$ (2) $z=2$ 为函数的一阶极点, 而 $$\bex \Res_{z=2}\frac{1}{z(z-2)(z+3)} =\frac{1}{2(2+3)}=\frac{1}{12}. \eex$$ (3) $z=1$ 为函数的本性奇点, 而由 $$\bex \sin\frac{1}{z-1}=1+\frac{1}{3!(z-1)^3}+\cdots,\quad z\neq 1 \eex$$ 知 $$\bex \Res_{z=1}\sin\frac{1}{z-1}=0. \eex$$
6. 求函数 $\dps{f(t)=\left\{\ba{lll} 1,&-1<t<0\\ 1,&0<t<1\\ 0,&\mbox{其它} \ea\right.}$ 的 Fourier 变换.
解答: $$\beex \bea \scrF[f](s) &=\int_{\bbR^1} f(t)e^{-ist}\rd t\\ &=\int_{-1}^0 1\cdot e^{-ist}\rd t +\int_0^1 (-1)\cdot e^{-ist}\rd t\\ &=\int_{-1}^0 [\cos (st)-i\sin (st)]\rd t -\int_0^1 [\cos (st)-i\sin (st)]\rd t\\ &=\int_0^1 [\cos(st)+i\sin (st)]\rd t -\int_0^1 [\cos (st)-i\sin(st)]\rd t\\ &=2i\int_0^1 \sin(st)\rd t\\ &=\frac{2(1-\cos s)i}{s}. \eea \eeex$$
7. 求解微分方程 $x'(t)+x(t)=\sin t, x(0)=-1$.
解答: 两边施行 Laplace 变换有 $$\bex sX(s)-(-1)+X(s)=\frac{1}{s^2+1}, \eex$$ 而 $$\bex X(s)=-\frac{s^2}{(s^2+1)(s+1)} =-\frac{1}{s-1}{s^2+1} -\frac{1}{2}\frac{1}{s+1}. \eex$$ 再施行 Laplace 逆变换有 $$\bex x(t)=-\frac{1}{2}(\cos t-\sin t )-\frac{1}{2}e^{-t}. \eex$$
来源: 家里蹲大学数学杂志第3卷第188期_一套复变函数试题参考解答
