设 $E\subset \bbR^n$, 若 $\bbR^n$ 中任何非空开集必有非空开子集与 $E$ 不相交, 则 $E$ 称为疏集; 若 $\bbR^n$ 中任何非空开集与 $E$ 有非空交, 则 $E$ 称为 稠集. 试证: $E$ 是疏集当且仅当 $E^{-o}=\vno$; $E$ 是稠集当且仅当 $E^-=\bbR^n$.
证明: (1) 先证: $E^{coc}=E^-$, $E^{c-c}=E^o$. 事实上, $$\beex \bea x\in E^{coc}&\lra x\not\in E^{co}\\ &\lra \forall\ U\ni x,\ U\not\subset E^c\\ &\lra \forall\ U\ni x, U\cap E\neq \vno\\ &\lra x\in E^-. \eea \eeex$$ (2) $$\beex \bea E^{-o}=\vno&\lra E^{cocc-c}=\vno\\ &\lra E^{co-=\bbR^n}\\ &\lra \forall\ U\neq \vno, U\cap E^{co}\neq \vno\\ &\lra \forall\ U\neq \vno, \exists\ V\neq \vno,\st V\subset E^c\\ &\lra \forall\ U\neq \vno, \exists\ V\neq \vno,\st V\cap E=\vno. \eea \eeex$$ (3) $$\bex E^-=\bbR^n\lra \forall\ U\neq \vno, U\cap E\neq \vno. \eex$$
