[复变函数]第14堂课 4.2 幂级数

1. 幂级数

(1) 定义: $\dps{\sum_{n=0}^\infty c_n(\zeta-a)^n}$ $\to$ $\dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\ (z=\zeta-a)}$.

(2) Abel 定理:

$$\bex \ba{rl} \dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\mbox{ 在 }z_1(\neq 0)\mbox{ 处收敛}}&\ra \dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\mbox{ 在 }|z|<|z_1|\mbox{ 内绝对、内闭一致收敛};}\\ \dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\mbox{ 在 }z_2(\neq 0)\mbox{ 处发散}}&\ra\dps{ \sum_{n=0}^\infty c_nz^n\mbox{ 在 }|z|>|z_2|\mbox{ 处发散}.} \ea \eex$$ 证明: $$\bex c_nz^n=c_nz_1^n\cdot\sex{\cfrac{z}{z_1}}^n. \eex$$

(3) 收敛半径:

$$\bex R=\sup\sed{|z|;\ \sum_{n=0}^\infty c_nz^n\mbox{ 在 }z\mbox{ 处收敛}}. \eex$$ 如此, $\dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n}$ 在 $|z|<R$ 内绝对、内闭一致收敛; 在 $|z|>R$ 内发散.

a. $R$ 的求法

$$\bex R=\vlm{n}\sev{\cfrac{c_n}{c_{n+1}}},\quad R=\cfrac{1}{\dps{\vls{n}\sqrt[n]{|c_n|}}}. \eex$$

b. 例: 求 $\dps{\sum_{n=1}^\infty \cfrac{z^n}{n^2},\ \sum_{n=0}^\infty \cos(in)(z-1)^n, \sum_{n=0}^\infty n!z^n}$ 的收敛半径.

c. 例: 判断级数 $\dps{\sum_{n=0}^\infty (5+12i)^n}$ 的敛散性.

 

2. 和函数

(1) 性质

a. $\dps{f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n}$ 在 $|z|<R$ 内解析.

b. $f(z)$ 可逐项求导, 并由此得到 $\dps{c_p=\cfrac{f^{(p)}(0) }{p!},\ p=0,1,2,\cdots}$.

(2) 计算

a. 例: 求 $\dps{\sum_{n=0}^\infty n^2z^n}$, $\dps{\sum_{n=0}^\infty n^3z^n}$, $\dps{\sum_{n=0}^\infty \cfrac{z^n}{n}}$, $\dps{\sum_{n=0}^\infty \cfrac{z^n}{n^2}}$ 的收敛半径及和函数.

解: 逐项求导或逐项求积. 注意到

$$\bex n^2=n(n-1)+n,\quad n^3=n(n-1)(n-2)+3n(n-1)+n,\mbox{ 等等}. \eex$$ 最后一个算不出来 (或者不能用初等函数表示之). 但这说明了一个问题:幂级数虽然可以在收敛圆周上处处收敛, 但和函数却一定在收敛圆周上有一个奇点!

 

作业: P 174 T 1 (3) , T 2 (2) .