[物理学与PDEs]第1章习题1 无限长直线的电场强度与电势

设有一均匀分布着电荷的无限长直线, 其上的电荷线密度 (即单位长度上的电荷量) 为 $\sigma$. 试求该直线所形成的电场的电场强度及电势.

解答: 设空间上点 $P$ 到直线的距离为 $r$, 以垂足为原点 $O$, $\vec{OP}$ 方向为 $x$ 轴正方向建立直角坐标系, 则有

$$\beex \bea  {\bf E}(P)&=\cfrac{\sigma}{4\pi \ve_0} \int_{-\infty}^{+\infty} \cfrac{(r,-x)}{(r^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}\rd x\\ &=\cfrac{\sigma}{4\pi \ve_0}\sex{\int_{-\infty}^\infty \cfrac{r}{(r^2+x^2)^\frac{3}{2}}\rd x,0}\\ &=\cfrac{\sigma}{4\pi \ve_0}\sex{\cfrac{2}{r},0}\\ &=\sex{\cfrac{\sigma}{2\pi\ve_0r},0}. \eea \eeex$$ 电势 $$\bex \phi(P)=-\int_1^r \cfrac{\sigma}{2\pi\ve_0s}\rd s =\cfrac{\sigma}{2\pi\ve_0}\ln\cfrac{1}{r}. \eex$$ 这里取到直线距离为 $1$ 处的电势为 $0$.